Aufgabe zu Differentialgleichungen

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DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Differentialgleichungen
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit Differentialgleichungen und habe hierzu folgende Aufgabe:



Und zwar muss ich ja jetzt eine Lösung finden, wo eben y'(x) dem entspricht, was gleich dem Ausdruck auf der rechten Seite steht, richtig?
Dazu hätte ich folgenden Ansatz:



Dieser Ausdruck jeweils 1x abgeleitet ergibt mir das, was oben auf der rechten Seite steht. Soweit richtig?
Was passiert aber, wenn die DGLs aufwendiger werden und man mit dem Ansatz nicht mehr einfach so hinkommt?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Differentialgleichungen
Nein, deine Lösung ist falsch.

Manche Differentialgleichungen (insbesondere natürlich die, die als Übungsaufgaben konstruiert werden) lassen sich einem bestimmten Typ zuordnen, für den Lösungsmethoden entwickelt wurden. Aber eben nicht alle. Differentialgleichungen können beliebig schwer werden, bis hin zur Unlösbarkeit. Das ist ein recht komplexes und weitreichendes Thema und kaum in einem Forum erschöpfend auszudiskutieren. Augenzwinkern

Hier gibt es z.B. eine kleine Übersicht von bekannten (gewöhnlichen) Differentialgleichungen. Die bilden einen guten Einstieg in das Thema. Es gibt aber eben noch viel mehr.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Hört sich irgendwie an, als hätte ich so gänzlich nicht verstanden, was man hier zu machen hat. Kannst Du mir 'nen Denkanstoß geben?
Habe mir mehrere Videos angesehen und scheinbar fruchtet das bislang nicht.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung sollte offenbar sein



Setz das doch mal auf beiden Seiten der Gleichung ein:



und



Du siehst aber, dass und nicht übereinstimmen. Deine Lösung stimmt also nicht.

Das ist eine lineare DGL erster Ordnung: Sie lässt sich durch Variation der Konstanten lösen. Wie genau du auf deinen Ansatz gekommen bist und wie du gerechnet hast, kann ich natürlich nicht sagen.

Erster Schritt muss immer sein, zu gucken, welchen Typ von DGL man vorliegen hat.

Das hier ...

Zitat:
Und zwar muss ich ja jetzt eine Lösung finden, wo eben y'(x) dem entspricht, was gleich dem Ausdruck auf der rechten Seite steht, richtig?

ist ja soweit wohl richtig. Gesucht ist ein y, für das die obige Gleichung erfüllt ist. Haut bei dir nur eben nicht hin, wie du nun gesehen hast. Augenzwinkern

PS: ICh weiß ja nicht, was du schon alles geübt hast. Aber als allererste Übungsaufgabe wäre die obige Aufgabe nach meinem Geschmack schon etwas zu hart. An der Uni beginnt man in aller Regel mit Trennung der Variablen. Differentialgleichungen, bei denen sich die Variablen trennen lassen, sind recht einfach zu lösen und auch das muss man ohnehin bei Variation der Konstanten auch draufhaben. Im Grunde wärst du dann schon einen Schritt zu weit und es fehlen noch diverse Basics.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sieht aus, als hätte ich mir einen riesigen Bock geschossen.
x^3 usw. hängen gar nicht von der Funktion x ab, sondern werden als Konstanten behandelt, richtig?
Das heißt, ich muss mir hier nur den ersten Term auf der rechten Seite der Gleichung anschauen?

Wie man die DGLs klassifiziert, habe ich mir heute angesehen und meine auch, es verstanden zu haben. Was hier vorliegt, ist eine explizite lineare Gleichung, die zudem inhomogen ist und konstante Koeffizienten aufweist. Die Linearität zeigt sich dadurch, dass in allen Termen, die mit der Funktion x zu tun haben, weder sinusartige Formen, noch Potenzen oder Brüche vorkommen.

Übung mit der Lösung von DGLs im klassischen Sinne habe ich leider überhaupt nicht, aber irgendwie müssen die Dinger bis zur Klausur in 4 Wochen sitzen.
Danke für den Tipp @ Mulder
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Formulierungen sind recht verworren. Eventuell meinst du das richtige. x ist keine Funktion! x ist die Variable. Die Funktion ist y, die hier von der Variablen x abhängt.

Ich bin etwas irritiert, dass bei dir in vier Wochen eine Klausur ansteht und du keinerlei Übung hast. verwirrt
 
 
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Beruf und Studium lassen sich manchmal schlecht vereinbaren, aber ich gebe mein bestes. Ich muss halt richtig Gas geben und üben, was das Zeug hält. Habe mir gerade noch ein Video angesehen, welches vielleicht ein Wenig Licht ins Dunkel bringt.

Zunächst wird also jede Variable auf die andere Seite gebracht:









soweit der Anfang... Die Stammfunktion auf der linken Seite müsste noch gebildet werden und ich hätte die implizite Lösung.
Wird das ganze dann nach y aufgelöst, so ergibt sich die explizite Lösung...
???

P.S.: Funktion y von x ist natürlich richtig. Sollte ich mir angewöhnen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DannyNRW
Zunächst wird also jede Variable auf die andere Seite gebracht:





Sowas geht nicht. Da werden schon ganz elementare Rechenregeln verletzt, die schon in der Unterstufe gelehrt werden (nicht böse gemeint, aber darf halt nicht passieren, wenn man sich schon mit höherer Mathematik rumplagt, da besteht Nachholbedarf). Wenn du bei einer Gleichung der Form



durch 5y teilen willst, musst du das mit jedem Summanden machen. Sprich man erhält allenfalls



Was hier aber nix bringt.

Wie ich schon sagte: Hier direkt die Variablen zu trennen geht nicht! Ich habe auf "Variation der Konstanten" verwiesen. Dieses Verfahren müsstest du dir zuerst aneignen. Dabei wird zuerst eine Lösung für das homogene Problem gesucht und DANN lässt man die dabei erhaltene Integrationskonstante variieren und passt sie so an, dass man eine Lösung für das inhomogene Problem erhält. Aber das eignet man sich eben auch nicht in fünf Minuten an. Und leider kann ein Forum auch keine ganze Vorlesung ersetzen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Differentialgleichungen
Noch ein Hinweis: das homogene Problem erhält man, indem man den inhomogenen Teil (das sind die Summanden x³, x² und x) wegläßt. Das führt dann zu der DGL



Homogen bedeutet, daß Vielfache einer Lösung und die Summe von zwei Lösungen wieder eine Lösung darstellt. Die allgemeine Lösung dieser linearen DGL ist relativ simpel.

Und ab damit in den Hochschulbereich.
DannyNRW Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal. Bin gerade dabei, mich so ein bisschen durch den Wald der DGLs durchzuwuseln. Finde den Anfang recht schwer ehrlich gesagt.

Heißt das, ich könnte nun generell alles (oder nur alle Sumanden?) auf der rechten Seite weglassen, was nicht mit der Funktion y(x) zu tun hat? Ich habe jetzt öfter gesehen, dass man für die homogene Lösung (also den allgemeinen Teil der Lösung) den rechten Teil der Gleichung =0 setzt. Man erhält letztlich ein quadratisches Gleichungssystem, welches zu lösen ist.

Zudem gibt es eine spezielle oder auch partikuläre Lösung, welche die Störfunktion enthält. Diese ebenfalls zu lösen (muss mir das noch genau anschauen).
Aus der Lösung für den allgemeinen Teil PLUS der Lösung für den partikulären Teil bildet sich dann die gesuchte Funktion. Soweit richtig?

Aber nochmal zum vorliegenden Beispiel:


Hier könnte ich jetzt nicht nach dem Schema "Trennung der Variablen" weiter verfahren? Also so, wie ich es oben versucht hatte?

P.S.: Wenn jemand aus dem Raum Düsseldorf kommt und gerne Nachhilfe gibt: Ich wäre sehr dankbar!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DannyNRW
Heißt das, ich könnte nun generell alles (oder nur alle Sumanden?) auf der rechten Seite weglassen, was nicht mit der Funktion y(x) zu tun hat?

Ja, nur das weglassen, was nicht mit y zu tun hat.

Zitat:
Original von DannyNRW
Ich habe jetzt öfter gesehen, dass man für die homogene Lösung (also den allgemeinen Teil der Lösung) den rechten Teil der Gleichung =0 setzt. Man erhält letztlich ein quadratisches Gleichungssystem, welches zu lösen ist.

Das kommt auf den Einzelfall an. Summanden mit y drin darfst du nicht weglassen.

Zitat:
Original von DannyNRW
Zudem gibt es eine spezielle oder auch partikuläre Lösung, welche die Störfunktion enthält. Diese ebenfalls zu lösen (muss mir das noch genau anschauen).
Aus der Lösung für den allgemeinen Teil PLUS der Lösung für den partikulären Teil bildet sich dann die gesuchte Funktion. Soweit richtig?

Ja.

Zitat:
Original von DannyNRW
Aber nochmal zum vorliegenden Beispiel:


Hier könnte ich jetzt nicht nach dem Schema "Trennung der Variablen" weiter verfahren? Also so, wie ich es oben versucht hatte?

Das kann man so machen. Es geht aber (in meinen Augen) auch einfacher. Bei einer DGL wie oben (es kommen nur y oder deren Ableitungen vor mit konstanten Faktoren) macht man den Ansatz .
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