Gleichverteilte Zufallsvariable - Füllgewicht eines Beutels

14.12.2016, 23:39

cmplx96

Gleichverteilte Zufallsvariable - Füllgewicht eines Beutels

Hallo zusammen,

die Aufgabe lautet:
Bei einer Verpackung von Kartoffeln in Beutel kann das Normalgewicht von 10kg im Allgemeinen nicht exakt eingehalten werden. Die Erfahrung zeigt, dass das Füllgewicht eines Beutels durch eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y = X + 10 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann, wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-0.25;0.75] \end{eqnarray*}$ gleichverteilte Zufallsvariable ist.

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Füllgewichtes eines Beutels.

Meine Ideen:
Für die Dichtefunktion von stetigen Gleichverteilungen habe ich folgende Funktion gefunden:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & x\in [a;b] \\<br /> 0 & sonst \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
Wenn ich meine Intervallsgrenzen einsetze, erhalte ich allerdings:
$\begin{eqnarray*} b-a = 0.75-(-0.25)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & x\in [a;b] \\<br /> 0 & sonst \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
Das kann doch nicht stimmen, oder?
Um an die Dichtefunktion für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zu kommen, muss ich eine Transformation durchführen, oder?

Danke schonmal smile

15.12.2016, 07:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cmplx96
Das kann doch nicht stimmen, oder?

Wieso nicht? Doch, es stimmt.

Zitat:

Original von cmplx96
Um an die Dichtefunktion für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zu kommen, muss ich eine Transformation durchführen, oder?

Ja, wobei diese einfache Verschiebung um 10 in eine entsprechende Verschiebung des Intervalls mündet. An sich musst du aber auch gar nicht die Verteilung von $\begin{align*} Y \end{align*}$ bestimmen, um an die gesuchten $\begin{align*} E(Y) \end{align*}$ und $\begin{align*} V(Y) \end{align*}$ zu kommen, das geht doch auch über die Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ .

15.12.2016, 09:01

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichverteilte Zufallsvariable - Füllgewicht eines Beutels
Mit $\begin{eqnarray*} Y=X+10 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} E(Y)=E(X)+10 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! \frac{1}{b-a} \, dx =1 \end{eqnarray*}$ ist schon mal in Ordnung. Damit ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ unsere normierte Häufigkeitsverteilung.

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty }^{\infty } \!x f(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! \frac{x}{b-a} \, dx =\left[\frac{x^2}{2(b-a)} \right]_{a}^{b} =\frac{b ^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{a+b}{2} =\frac{1}{4}=\bar{x} \end{eqnarray*}$

Letzteres heißt, daß bei einer Gleichverteilung in einem gegebenen Intervall der Erwartungswert für X in der Intervallmitte zu finden ist. Darauf hätte man auch ohne Rechnung kommen können. Als nächstes kommt die Varianz.

$\begin{eqnarray*} V(X)=\int_{-\infty }^{\infty } \!\left(x-\bar{x} \right)^2 f(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! \frac{\left(x-\bar{x} \right)^2}{b-a} \, dx =\left[\frac{\left(x-\bar{x} \right)^3}{3(b-a)} \right]_{a}^{b} =\frac{\left(b-\frac{a+b}{2} \right)^3-\left(a-\frac{a+b}{2} \right)^3 }{3(b-a)} =\frac{\left(b-a \right)^3-\left(a-b \right)^3 }{24(b-a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(Y)=V(X)=\frac{\left(b-a \right)^2 }{12}=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

15.12.2016, 17:06

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich
Es ist NICHT gestattet, im Board Werbung jedwelcher Art unterzubringen, schon gar nicht für kostenpflichtige Dienstleistungen.
Entferne diese bitte umgehend aus deiner Signatur, ansonsten wird dies die Administration vornehmen.
Und bitte mit den Emoticons sparsamer umgehen!

mY+

15.12.2016, 20:40

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten! smile

Neue Frage »

Antworten »

Gleichverteilte Zufallsvariable - Füllgewicht eines Beutels

Verwandte Themen