Schwache Konvergenz Äquivalenz

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache Konvergenz Äquivalenz
Meine Frage:
Folgende Frage, die mich zum Grübeln bringt:

Sind und Zufallsvariablen, die nur Werte in annehmen. Zu zeigen ist:
für GENAU DANN WENN .


Meine Ideen:
Also ich denke, ich muss folgendes Lemma benutzen, bin mir aber nicht sicher und weiß nicht so recht wie:

SeienP1, P2, . . . aus P(R) und µ aus P(R) mit Pn =>v µ (vage), dann gilt:
µ(R) = 1 GENAU DANN WENN (Pn) ist straff.
In diesem Fall gilt dann Pn => µ (konvergiert schwach).

Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank und liebe Grüße,
Lissy smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Das sieht nach etwas aus, was man direkt über die Definition machen kann. Wie habt ihr die schwache Konvergenz von Zufallsvariablen definiert?
 
 
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Wie es hier in Definition 10.1 geschrieben steht...
https://www.stochastik.uni-freiburg.de/p...alte/2014zyklus
unter Punkt 2.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Mit Bemerkung 10.2 sieht es doch extrem nett aus (spart einige Umformulierungen.)

Dort steht: , wenn für alle , wobei der Zustandsraum ist. Finde raus was in dem Fall ist, charakterisiere den Raum und folgere die Aussage.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Okay, ich probier es..dankesmile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
So ganz überzeugt bin ich übrigens nicht, dass die Rückrichtung überhaupt gilt. Die andere ist jedenfalls sehr einfach zu zeigen, auch ohne Charakterisierung des Raums.

Edit: Kann es sein, dass du `vage' Konvergenz meintest? Dann wäre der Raum und damit die Aussage richtig.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Nein, ich meine nicht vage Konvergenz ..leider. Ich hab rumprobiert, aber komme nicht weiter unglücklich Habe bis jetzt also noch nichts brauchbares. Weitere Tips, Hilfe oder Links dazu? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Du könntest ja mal erzählen was du versucht hast, wo du nicht weiter kamst, was für Probleme aufgetreten sind usw....
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Ich hab das ganze Zeug weg geschmissen, da einfach nichts davon richtig war. Habe versucht, die Definitionen von der Konvergenz einzusetzen bzw. zu verwenden und daraus die eine Richtung zu folgern. Für die Rückrichtung hatte ich noch nichts probiert.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Zitat:
Original von IfindU
Dort steht: , wenn für alle , wobei der Zustandsraum ist. Finde raus was in dem Fall ist, charakterisiere den Raum und folgere die Aussage.


Kannst du denn dazu irgendwas sagen?
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Nein, ich habe nichts sinnvolles zu E gefunden und somit auch nicht zum Rest unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Zitat:
Original von lissy1234567
Sind und Zufallsvariablen, die nur Werte in annehmen.


Du musst schon in die Annahmen gucken, sonst wird das nichts. Eine Idee was sein könnte?
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Ja gut E könnte natürlich der Raum der ganzen Zahlen sein.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Sehr gut. Und welche Funktionen sind stetig, also ?
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Das ist einfach: Jede solche Funktion ist überall stetig
Aber Weiter ? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Jetzt bleibt nur noch die Definition (bzw. Bemerkung) mit einer geeigneten Wahl von zu benutzen.

Also du hast:
für alle

Du willst für jedes , dass
.

Eine Wahl von drängt sich auf.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Hm, aber ich will ja beide Richtungen zeigen, somit habe ich dann nur eine Richtung gezeigt oder? Und zwar die " < = " -Richtung verwirrt

Zu dem f fällt mir nur ein, wähle f(x) = j, dann ist f(Xn)=j ??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Damit haben wir die "=>"-Richtung gezeigt. Und niemand sagt man muss die äquivalent in einander umformen. Man kann beide getrennt betrachten.

Die Wahl von ist nicht gut. Versuche lieber 'Dirac'-artige Funktionen für festes j.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Ach okay, ich rechne das mit der Dirac-Funktion nach. Dann folgt das Ergebnis schon leicht. Wie sieht es aber nun mit der Rückrichtung aus?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Zeige erst einmal, dass es für alle mit kompakten Träger stimmt. Stelle dafür ein solches als Summe über Dirac-Funktionen da und benutze Linearität.

Was für Funktionen mit nicht kompakten Träger angeht, sollte die Aussage einfach falsch sein. Wenigstens schwebt mir ein Gegenbeispiel vor.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Achso, Okay danke ! ich probier es nachher, sauber aufzuschreiben und das zu tun, was du eben gesagt hast. Hauptsache ich habe mal eine ganz grobe Idee und Richtlinie, an die ich mich halten kann.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Allgemein zur Aufgabe:

Momentan gehe ich davon aus, dass man die Aufgabe derart ändern muss:
a) Man ersetzt die schwache Konvergenz durch vage Konvergenz. Dann sind die Aussagen äquivalent.
b) Man ersetzt die punktweise Konvergenz durch die in gleichmäßige Konvergenz .

b) vermute ich momentan nur, aber es sieht plausibel aus.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Also ich werd es mir merken und unseren Tutor mal fragen, aber bisher wurde noch keine Änderung seitens des Lehrstuhls vorgenommen oder eine Mail mit Korrektur verschickt. Als Hinweis habe ich nun bekommen, dass ich das letzte Lemma auf folgendem Blatt verwenden soll: https://www.stochastik.uni-freiburg.de/l...6-17/blatt8.pdf ...dazu haben wir jetzt aber nichts disktuiert, weil mich das nur noch mehr verwirrt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Die Idee da war zu definieren und , das Push-forward Maß.

Was aber nicht wirklich was bringt, weil man nicht zeigen kann, dass . Wenn man das hingegen fordert, reicht es die Aussage wie eben beschrieben für Funktionen mit kompakten Träger zu zeigen und dann das Lemma drauf zu werfen um aus der vagen Konvergenz die schwache Konvergenz zu zaubern.

Edit: Was rede ich da... Es ist . Das Problem liegt woanders...
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Okay, wo liegt denn dann das Problem Big Laugh Jetzt bin ich komplett verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Ich ziehe meine Einwände zurück. Das Lemma reicht aus um die Aussage, so wie sie formuliert wurde, zu folgern.

Mein Denkfehler war es nicht an Wahrscheinlichkeiten, sondern Erwartungen zu denken. Ich dachte man schafft es die Masse von vor der punktweisen Auswertung in zu verstecken. Die Beispiele waren Klassiker wie punktweise aber nicht Konvergenz, oder ähnliche.

Oder in schamloser Formulierung: Ich dachte für alle . Ich schiebe es auf minimalen Koffeinentzug Big Laugh
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Das bedeutet, was wir diskutiert haben war falsch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Mein Bestehen darauf die schwache Konvergenz durch vage ersetzen zu muessen war falsch. Alles andere ist immer noch richtig.Folgt man meiner Idee die `<=' Richtung fuer Funktionen mit kompakten Traeger zu zeigen, so kommt nur die Anwendung des Lemmas dazu, um zusaetzlich zur vagen Konvergenz die schwache zu bekommen.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz Äquivalenz
Hm okay ich werde darüber nachdenken. Danke smile
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