Konvergenz von der n-ten Wurzel von n

15.12.2016, 12:21

Schniti

Konvergenz von der n-ten Wurzel von n

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert und dabei die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1 + b_{n} \end{eqnarray*}$ darstellen soll und mithile des binomischen Lehrsatzes beweisen soll, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Meine Ideen:
Allerdings weis ich nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ als
$\begin{eqnarray*} a_{n} = 1 + b_{n} \end{eqnarray*}$
darstellen soll
Könnt ihr mir da einen Hinweis geben?

15.12.2016, 12:23

IfindU

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RE: Konvergenz von der n-ten Wurzel von n
Ich wäre für $\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt[n] n - 1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Edit: Habe nun ein wenig nachgedacht. Es ist gut zu wissen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine explizite Form zulässt, aber im Beweis wirst du hauptsächlich abstrakt argumentieren, ohne wissen zu müssen wie $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ aussieht.

15.12.2016, 12:31

Schniti

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RE: Konvergenz von der n-ten Wurzel von n
dann kann man das doch genauso gut mit $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ machen aber das ist ja in der Aufgabe nicht gefragt

15.12.2016, 12:37

IfindU

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RE: Konvergenz von der n-ten Wurzel von n
Die Idee ist es nicht $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in einer Form zu wählen, in der man die Nullfolge erkennen kann. Die Idee ist mit der Gleichheit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n] n = 1 + b_n \end{eqnarray*}$ zu starten, und jetzt mit ihr zu arbeiten. Insbesondere weil man von binomischen Lehrsatz redet, und links eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel steht, sollte klar sein was man im ersten Schritt tun sollte.

15.12.2016, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Insbesondere weil man von binomischen Lehrsatz redet, und links eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel steht, sollte klar sein was man im ersten Schritt tun sollte.

So klar ist das m.E. nicht: Jedenfalls führt eine Erhebung zur n-ten Potenz $\begin{align*} n=(1+b_n)^n \end{align*}$ nicht unmittelbar zum Nachweis der Nullfolgeneigenschaft von $\begin{align*} b_n \end{align*}$ - schon eher aber eine Nummer kleiner, nämlich $\begin{align*} \sqrt{n}=(1+b_n)^{\frac{n}{2}} \end{align*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Ok, es geht auch mit ersterem. Ich bin halt der Bernoulli-Ungleichung verhaftet, d.h. nur mit dem linearen Glied abzuschätzen. Big Laugh

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