Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen

15.12.2016, 12:42

bine.c

Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} bn = \frac{2n^{2} + n }{n-1} - \frac{2n^{2} }{n+2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich habe jetzt heuumgerechnet und mit würde der Grenzwert a = 7 herauskommen.

Jetzt habe ich aber folgendes Problem. Erstens für n=1 ist die Folge nicht definiert und bei n=2 erhalte ich als Ergebnis 8.

Ich denke auch, dass die Folge nicht monoton ist und deswegen (Konvergenzkriterium) auch nicht konvergent sein kann und auch keinen Grenzwert besitzt.

Bin mittlerweile aber total verwirrt und würde mich über Hilfe sehr freuen

15.12.2016, 12:53

klarsoweit

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RE: Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von bine.c
Ich habe jetzt heuumgerechnet und mit würde der Grenzwert a = 7 herauskommen.

Korrekt. Ansonsten scheint die Verwirrung ja groß zu sein.

Zitat:

Original von bine.c
Erstens für n=1 ist die Folge nicht definiert

Derjenige, der die Folge definiert, muß auch angeben, für welche Menge natürlicher Zahlen diese gilt. Entweder schließt er n=1 aus oder er gibt dafür explizit einen Wert an.

Zitat:

Original von bine.c
und bei n=2 erhalte ich als Ergebnis 8.

Und wo ist das Problem? Für Konvergenz ist nicht einmal verlangt, daß irgendwo mal ein Folgenglied den Wert 7 hat. Was spricht dann gegen die 8?

Zitat:

Original von bine.c
Ich denke auch, dass die Folge nicht monoton ist und deswegen (Konvergenzkriterium) auch nicht konvergent sein kann und auch keinen Grenzwert besitzt.

Monotonie ist kein notwendiges Kriterium für Konvergenz. Warum auch?

15.12.2016, 12:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von bine.c
Erstens für n=1 ist die Folge nicht definiert

Für den Grenzwert $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ ist das belanglos. Es reicht vollkommen aus, wenn es ein $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ gibt, so dass die Folge für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ definiert ist.

Anratsam wäre hier jeweils eine Polynomdivision (mit Rest):

$\begin{align*} b_n = \frac{2n^2+n}{n-1} - \frac{2n^2}{n+2} = \left( 2n+3+\frac{3}{n-1} \right) - \left(2n-4+ \frac{8}{n+2} \right) = 7+\frac{3}{n-1}-\frac{8}{n+2} \end{align*}$

Und diesem Term kann man dann tatsächlich die Konvergenz gegen 7 ansehen.

15.12.2016, 13:12

bine.c

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RE: Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen
Zuerst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

... und ja, bis auf das Ergebnis ist die Verwirrung groß. :-)

Ich hab als Aufgabenstellung nur die angegebene Folge bekommen, heißt es jetzt, dass ich die Menge natürlicher Zahlen für die es gilt angeben muss?

Und wegen dem letzten von dir angebrochenen Punkt war ich deswegen verwirrt, weil in meinem Skript steht:

Konvergenzkriterium: Eine beschränkte und monotone Folge ist konvergent.

--> Deswegen meine Verwirrung.

Werde mich jetzt vom "leichten" Einstiegsbeispiel den schwierigeren Aufgaben widmen.
Danke noch einmal!!!!

15.12.2016, 13:16

bine.c

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@ Hal9000

... auch dir Danke für deine Hilfe. Jetzt hab ich es wirklich gesehen :-)

Noch eine kleine Zusatzfrage: Wenn in der Aufgabenstellung eben steht, untersuche die Konvergenz.
Genügt die Ermittlung des Grenzwertes, da gilt: Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent.

15.12.2016, 13:23

HAL 9000

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Eine "saubere" Ermittlung des Grenzwertes schließt den Konvergenznachweis implizit mit ein.

15.12.2016, 13:25

klarsoweit

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RE: Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von bine.c
Ich hab als Aufgabenstellung nur die angegebene Folge bekommen, heißt es jetzt, dass ich die Menge natürlicher Zahlen für die es gilt angeben muss?

Dazu müßte man den exakten Aufgabentext kennen. Wenn da nichts mehr steht, ist in meinen Augen die Aufgabe etwas schlampig gestellt.

Zitat:

Original von bine.c
Konvergenzkriterium: Eine beschränkte und monotone Folge ist konvergent.

--> Deswegen meine Verwirrung.

Das heißt jetzt aber nicht umgekehrt, daß jede konvergente Folge monoton sein muß. smile

15.12.2016, 13:27

bine.c

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RE: Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen
Danke euch beiden!

Ich knoble schon an den nächsten Beispielen.

... und die Angabe/Aufgabenstellung besteht nur aus dem Text, welchen ich angegeben habe.

LG

15.12.2016, 15:40

Matt Eagle

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RE: Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls Grenzwert bestimmen
Um das Ganze schlüssig aufzuschreiben könntest Du so vorgehen:

Stelle zunächst fest, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1n=\lim_{n\to\infty}\frac 2n=0. \end{eqnarray*}$

Forme dann um und kürze, so dass $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{7+\frac 2n}{\left(1+\frac 2n\right)\left(1-\frac 1n\right)}. \end{eqnarray*}$

Die Grenzwertsätze liefern nun sowohl Konvergenz als auch Grenzwert.

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