Hesse-Matrix

15.12.2016, 14:20

zinsky95

Hesse-Matrix

Meine Frage:
Guten Tag, bitte um Überprüfung und Hilfe folgender Aufgabe:

Gegeben sei Funktion f(x1,x2) = x1^(3/4) * x2^(1/4) und der Punkt a = (1,1)
a) bestimmen sie die Hessematrix von f an der Stelle a
b) Welche Definiteigenschaft hat die Matrix Hf(a)? Begründe!
c) Bestimmen Sie alle Vektoren x, so dass x^T * Hf(a) * x = 0 gilt.

Meine Ideen:
zu a) Ableitungen machen, daraus folgt:
fx1x1(x1,x2) = $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{16}*x1^{-5/4} *x2^{1/4} \end{eqnarray*}$
fx2x2(x1,x2) = $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{16}*x2^{-7/4} *x1^{3/4} \end{eqnarray*}$
fx1x2 = fx2x1 (da symmetrisch) = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{16} *x1^{-1/4} *x2^{-3/4} \end{eqnarray*}$

damit ist die Hessematrix im Punkt (1,1): (a,b,c,d) = -3/16 für a und d und 3/16 für b und c

b) hier habe ich ein Problem, da der Satz von Hurwitz für det(a) = 0 keine Definition der Definitheit vorgibt, wie komme ich hier auf die Definitheit?

c) Hier wäre (da Multilikation) meine Lösung für den Vektor einfach x1=0 und x2=0 - somit müsste ja genau das gelten was dort steht?

schonmal danke für die Hilfe und Entschuldigung für die schlechte darstellung

Willkommen im Matheboard!
Ich hab die Korrektur aus dem zweiten Beitrag übernommen und diesen gelöscht. Sonst sieht's so aus, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen

15.12.2016, 17:10

MathNoob28

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Also deine Hessematrix ist :

$\begin{eqnarray*} H_f(1,1) = \begin{pmatrix} -\frac{3}{16} & \frac{3}{16} <br /> <br /> \\ \frac{3}{16} &- \frac{3}{16} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt die Eigenwerte bestimmst, mit folgender Formel $\begin{eqnarray*} det( H_f- E\lambda)=0 \end{eqnarray*}$ dann folgt :

$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{16} - \lambda)^2- (\frac{3}{16})^2 \end{eqnarray*}$

Daraus dann $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = \frac{3}{16}>0 \end{eqnarray*}$
Also positiv definit smile

16.12.2016, 11:33

zinsky95

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Danke für die Antwort, Eigenwert Kriterium hatten wir sogar ebenfalls besprochen, bin ich leider nichtmehr draufgekommen..

Habe das aber mal nachgerechnet; kannst du mir erklären wie du auf 3/16 für Lambda kommst?

Meine Rechnung wäre:
$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{16}-\lambda )*(-\frac{3}{16}-\lambda )-\frac{3}{16} *\frac{3}{16} <br /> <br /> = ausmultipliziert: \lambda^{2} + \frac{3}{8} \lambda \end{eqnarray*}$

daraus folgen durch ausklammern von Lambda die Eigenwerte 0 und -3/8 oder nicht?

16.12.2016, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von zinsky95
daraus folgen durch ausklammern von Lambda die Eigenwerte 0 und -3/8 oder nicht?

Das ist korrekt. smile

16.12.2016, 11:49

zinsky95

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist korrekt. smile

Damit wäre dann die Beantwortung von b) mit allen Eigenwerten kleiner/gleich Null -> negativ semidefinit ? (nach Satz des Sylvester, wenn ich mich nicht irre verwirrt

-> hat noch jemand einen Tipp zur c) ? kann mir eigentlich fast nicht vorstellen, dass man dort einfach einen Nullvektor hinklatschen kann

16.12.2016, 12:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von zinsky95
Damit wäre dann die Beantwortung von b) mit allen Eigenwerten kleiner/gleich Null -> negativ semidefinit ?

Ja.

Zitat:

Original von zinsky95
-> hat noch jemand einen Tipp zur c) ? kann mir eigentlich fast nicht vorstellen, dass man dort einfach einen Nullvektor hinklatschen kann

Nun ja, da steht "alle Vektoren". Da gibt es noch ein paar mehr. Augenzwinkern

16.12.2016, 13:04

zinsky95

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, da steht "alle Vektoren". Da gibt es noch ein paar mehr. Augenzwinkern

Ahh ja das ist ein Argument.. Hammer

dann würde ich nun umformen zu:

(x1,x2) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3/16x1 & 3/16x2 \\ 3/16x1 & -3/16x2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit wäre das immer = 0, wenn eine der beiden Seiten 0 ist, und das ist immer der Fall, wenn x1=x2 ? verwirrt

16.12.2016, 13:15

klarsoweit

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Im Prinzip ja, aber ich hätte einfach mit dem Kern der Matrix argumentiert. smile

16.12.2016, 13:19

zinsky95

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip ja, aber ich hätte einfach mit dem Kern der Matrix argumentiert. smile

Ist vielleicht eine blöde Frage, aber wie würde die Argumentation zu dem Kern der Matrix dann mathematisch korrekt lauten?

(Frage so genau, da unser Professor mit einer Art Augenzwinkern gemeint hat, wir sollen uns diese Aufgabe nochmal genau anschauen für die Prüfung Lehrer

)

16.12.2016, 13:25

klarsoweit

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Nun ja, wenn der Kern der Hesse-Matrix nicht nur aus dem Nullvektor besteht (was in diesem Fall sein muß, da ja lambda=0 ein Eigenwert ist), dann ist eben Hf(a) * v = 0 mit v Element des Kerns. Und voilà. Augenzwinkern

16.12.2016, 13:41

zinsky95

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, wenn der Kern der Hesse-Matrix nicht nur aus dem Nullvektor besteht (was in diesem Fall sein muß, da ja lambda=0 ein Eigenwert ist), dann ist eben Hf(a) * v = 0 mit v Element des Kerns. Und voilà. Augenzwinkern

Alles klar, dann danke ich an dieser Stelle für die Denk-Anstöße, ich denke die Aufgabe sollte ich dann schaffen, falls sie ähnlich dran kommt Freude

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