Basis vom Kern & Bild einer linearen Abbildung

15.12.2016, 15:35

dubbox

Basis vom Kern & Bild einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R ^{4}\rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \phi \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_3 - x_1 \\ 4x_1 + 3x_2 +x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(a) Bestimmen sie eine Basis von Kern $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und von Bild $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .
(b) Geben sie an, ob die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Meine Ideen:
Zu (a)

$\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ scheint mir hier trivial wählbar zu sein, da es das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ nicht beeinflusst.

Da ich ker( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ), so verstanden habe, dass es die Menge der Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ ist die auf den Nullvektor von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ abbilden.

Ich behandle jetzt das ganze wie eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ ja eben beliebig wählbar ist. Um den Kern herrauszufinden benutzte ich den Gauß-Jordan Algorithmus wie folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
hier addieren wir auf die 1. Spalte die 2. Spalte und das 4-fache der 2. Spalte auf die 3. Spalte und erhalten

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
jetzt ziehen wir das 9-fache der 1. Spalte von der 3. Spalte ab sowie das 2-fache der 1. von der 2. Spalte und erhalten

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist jetzt der Kern die Menge der Vektoren für die $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \\ 3x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt. das wäre also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da wir aber $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ trivial wählen dürfen und ker( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ ist also der ker( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) die Menge aller Vektoren mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wenn das nun stimmen sollte, wie bestimme ich dann davon die Basis? Also mir kommt das falsch vor irgendwie Big Laugh

Das wäre dann ja einfach nur $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht irre.

Zum Bild

Hier stehe ich ganz auf dem Schlauch, also das Bild ist ja die Menge aller Vektoren die ich durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_3 - x_1 \\ 4x_1 + 3x_2 + x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abbilden lässt. Sozusagen muss ich also genau davon eine Basis angeben oder? Nur wie mache ich denn das? Big Laugh

Eine Basis ist ja eine linear Kombination von linear Unabhängigen Vektoren, aus denen ich alle Vektoren des Vektorraums definieren kann. Wäre das dann in dem Beispiel soetwas wie
$\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

(b)
Hier weiß ich, da $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ beliebig wählbar ist, ohne das abgebildete zu Beeinflussen, ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht injektiv. Also ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auch nicht bijektiv.

Zur surjektivität habe ich noch keinen Ansatzt, zu zeigen wäre hier ja wohl, dass $\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in \mathbb R \exists x_1,x_2,x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sodass gilt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_3 - x_1 \\ 4x_1 + 3x_2 +x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

Vielen Dank schon eimaal für die Zeit und Hilfe!

15.12.2016, 15:54

klarsoweit

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RE: Basis vom Kern & Bild einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von dubbox
Um den Kern herrauszufinden benutzte ich den Gauß-Jordan Algorithmus wie folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
hier addieren wir auf die 1. Spalte die 2. Spalte und das 4-fache der 2. Spalte auf die 3. Spalte und erhalten

Zum einen muß es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen, zum anderen schreibst du "Spalte", obwohl du Zeilenoperationen machst. Und zum Dritten ist die Addition der 2. Zeile zur 1. Zeile verunglückt.

15.12.2016, 16:33

dubbox

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Vielen Dank für den Hinweis, aber an dem eigentlichen Ergebnis ändert sich ja nichts dadurch,

wir haben jetzt zwar dann in der ersten Zeile 3 stehen für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ dennoch bleibt der Kern weiterhin die Menge aller Vektoren gebildet durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und da ist ja die eigentliche Frage, ob das nun so stimmt oder nicht bzw. dann auch die Basis dessen.

Editieren kann ich leider das vorherhige nicht mehr, um die flüchtigkeitsfehler zu beseitigen.

16.12.2016, 10:03

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OK, der Kern stimmt dann so, wobei du als Basis einen konkreten Vektor raussuchen mußt.

16.12.2016, 12:57

dubbox

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Also wäre dann die Basis des Kerns der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Da hier dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in \mathbb R \exists \alpha \in \mathbb R : \alpha \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ außerdem ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig und somit die Basis des Kerns.

Wie sieht jetzt das ganze für das Bild aus?

Zur (b) ich habe in unserem Skript einen Satz gefunden, der besagt, sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler K-Vektorraum (K ist hier ein Körper) und es existiert eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi : V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ dann sind die folgenden Aussagen äquivalent (hier liste ich nur die relevanten Aussagen auf)
a) $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist bijektiv
b) $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ is surjektiv
c) $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist injektiv
d) $\begin{eqnarray*} ker(\phi) = \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Da in meiner Aufgabe für den Kern der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} ker(\phi) \neq \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt , ist dies also äquivalent dazu, dass sie weder surjektiv noch injektiv und dadurch auch nicht bijektiv ist, das sollte ja so stimmen.

Danke für deine Hilfe bisher! Ich hoffe das mit dem Bild klärt sich eben so smile

16.12.2016, 13:21

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Zitat:

Original von dubbox
Also wäre dann die Basis des Kerns der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn man es ganz exakt betrachtet, wäre das eine mögliche Basis, aber nicht die Basis. smile

Zitat:

Original von dubbox
Wie sieht jetzt das ganze für das Bild aus?

Nun ja, bilde die Bilder der Basis des Urbild-Raums und extrahiere aus diesen eine Basis. In diesem Fall kannst du aber auch mit dem Dimensionssatz argumentieren, der dir sagt, welche Dimension der Bildraum haben muß. smile

16.12.2016, 13:57

dubbox

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Wäre in diesem Fall die Basis dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Zum Bild:

Also hier nocheinmal die definition des Dimensionssatzes $\begin{eqnarray*} Rang(\phi) + dim(ker(\phi)) = dim(V) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(ker(\phi)) + dim(im(\phi)) \end{eqnarray*}$

Also sollte ja $\begin{eqnarray*} dim(im(\phi)) = dim(V) - dim(ker(\phi)) \end{eqnarray*}$ gelten.

Ich bin mir nur jetzt unsicher, da ja $\begin{eqnarray*} ker(\phi) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die Dimension jetzt 1 oder ? Dann wäre also laut Dimensionssatz die Dimension des Bildes 3. Dh. die Basis des Bildes besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren, wenn ich das richtig verstanden habe.

Da man aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0x_1+x_2 \\ 2x_3-x_1 \\ 4x_1 + 3x_2 +x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch die Spalten ein Erzeugendensystem ablesen kann nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und wir wissen, die Basis hat die Dimension 3, so sind die linear unabhängigen Vektoren des Erzeugendensystems auch unsere Basis des Bilds oder? Bin beim Thema Basen noch sehr frisch und unsicher Big Laugh

16.12.2016, 14:40

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Zitat:

Original von dubbox
Wäre in diesem Fall die Basis dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Nee, ich wollte nur dezent darauf hinweisen, daß es "die" Basis nicht gibt. Du kannst jeden beliebigen Vektor, der die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit x ungleich Null hat, als Basis nehmen.

Zitat:

Original von dubbox
Ich bin mir nur jetzt unsicher, da ja $\begin{eqnarray*} ker(\phi) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die Dimension jetzt 1 oder ? Dann wäre also laut Dimensionssatz die Dimension des Bildes 3. Dh. die Basis des Bildes besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren, wenn ich das richtig verstanden habe.

Genau. Und jetzt überlege mal, welche Dimension der Zielraum deiner Abbildung hat.

16.12.2016, 14:49

dubbox

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ja 3 oder ? Big Laugh

da ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_3-x_1 \\ 4x_1+3x_2+x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 2x_3 \\ 4x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ -x_1 \\ 3x_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder habe ich da was falsch verstanden? Also das wäre ja eine möglichkeit das darzustellen, mit weniger Vektoren gehts nicht wenn ich mich nicht irre.

Das hatte ich ja aber auch vorher so probiert nur dass dann wegen unterschiedlichen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ ja das Erzeugendensystem eher so aufgebaut sein müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_3-x_1 \\ 4x_1+3x_2+x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ 4x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \\ 3x_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} +\gamma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha=x_1,\beta=x_2,\gamma=x_3 \in \end{eqnarray*}$ .

Danke dir für die Mühe bis hierher schon einmal Big Laugh

16.12.2016, 14:57

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RE: Basis vom Kern & Bild einer linearen Abbildung
Ja, die Dimension ist 3, aber dein Argument zieht nicht. Ich frage im Moment nicht nach der Dimension des Bildraums, sondern des Zielraums deiner Abbildung phi. Dieser ergibt sich aus:

Zitat:

Original von dubbox
Sei $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R ^{4}\rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

Auf welchen Raum bildet also phi ab? Welche Dimemsion hat dieser Raum?.

16.12.2016, 15:35

dubbox

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Also phi bildet auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ab. Also ist die Dimension des Zielraums die des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ und dieser hat die Dimension 3.

Darf ich dann damit folgern das also die Basis des Zielraumes/Bildes also auch die Dimension 3 haben muss?

16.12.2016, 15:49

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Nun ja, du darfst folgendes folgern:
Der Bildraum Im(phi) hat aufgrund des Dimensionssatzes die Dimension 3 und damit die gleiche Dimension wie der Zielraum R³. Folglich sind diese identisch und du kannst eine Basis des R³ als Basis deines Bildraums nehmen. Augenzwinkern

16.12.2016, 17:05

dubbox

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Okay also sind sozusagen alle Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ auch Basen von im(phi)? Aber andersherum gilt dieser Schluss ja nicht oder? Dann wäre also eine Basis von im(phi) z.B. die Standardbasis $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen dank dir auf jedenfall für deine Hilfe.

16.12.2016, 20:02

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Zitat:

Original von dubbox
Okay also sind sozusagen alle Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ auch Basen von im(phi)?

Ja.

Zitat:

Original von dubbox
Aber andersherum gilt dieser Schluss ja nicht oder?

Wieso nicht?

Zitat:

Original von dubbox
Dann wäre also eine Basis von im(phi) z.B. die Standardbasis $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

17.12.2016, 12:10

dubbox

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Okay, also der Umkehrschluss gilt also auch? Bin mir da einfach nicht ganz sicher, aber bin leider auch nicht so mega fit im Thema Basen & Dimension deswegen kann ich mir auch gut vorstellen, dass es ginge, mir fällt konkret auch kein Bsp. ein in dem es nicht ginge.

Die Sache ist, was für ein Satzt erläutert mir, dass gilt die Basen von einem Vektorräumen mit gleicher Dimension sind gleich? Lässt sich dies aus der Definition einer Basis herleiten? Ich muss das nunmal in der Aufgabe begründen, da ich nicht einfach schreiben darf das ist eben so.

Wäre mega lieb, wenn du mir dazu noch etwas sagen könntest, trotzdem schon einmal vielen Dank für deine Ausdauer und Hilfe smile

Und wäre dann nicht immer eine Basis des $\begin{eqnarray*} im(\phi) \end{eqnarray*}$ von einem Vektrorraum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ , ganz einfach die Standardbasis des jeweiligen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n = dim(im(\phi)) \end{eqnarray*}$ ?

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