Integral berechnen

15.12.2016, 20:19

yellowman

Integral berechnen

Hallo, ich soll folgendes Integral auswerten:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich schreibe $\begin{eqnarray*} I(b)=\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}dx \end{eqnarray*}$

Nun differenziere ich nach b und erhalte:

$\begin{eqnarray*} I'(b)=\int_0^1\frac{d}{db}\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I'(b)=\int_0^1x^b dx=\frac{1}{b+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I'(b)=\frac{1}{b+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I(b)=\ln(b+1)+c \end{eqnarray*}$

Ich habe mir nun überlegt wenn $\begin{eqnarray*} b=a \end{eqnarray*}$ gilt dann ist $\begin{eqnarray*} I(b=a)=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \ln(a+1)+c=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} I(b)=\ln(b+1) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis.

Ich frage mich nun ob mein Ergebnis korrekt ist. Wolframalpha spuckt mir leider keine Lösung aus.

Hat jemand eine Idee?

Danke!

15.12.2016, 23:53

mYthos

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Das gegebene Integral dürfte algebraisch (geschlossen) nicht ausführbar sein.
Daher wird dir ein CAS kein exaktes Ergebnis angeben können.

Der Umweg über b ist für mich undurchsichtig.
Im Übrigen kannst du ja dein Ergebnis der Integration mittels der Ableitung sofort verifizieren.
Tut es das?

mY+

16.12.2016, 00:11

005

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RE: Integral Berechnen
In $\begin{eqnarray*} I(b)=\ln(b+1)+c \end{eqnarray*}$ haengt die Konstante aber von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ab!

Es muesste also eher so heissen:

$\begin{eqnarray*} I=\ln(b+1)+C_1(a). \end{eqnarray*}$

Wenn man das Gleiche Spiel noch mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ macht hat man:

$\begin{eqnarray*} I=-\ln(a+1)+C_2(b). \end{eqnarray*}$

Zusammen sollte das

$\begin{eqnarray*} I=\ln\frac{b+1}{a+1}+C \end{eqnarray*}$

ergeben. Und fuer $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} C=0. \end{eqnarray*}$

Das ist aber alles ziemlich hakelig, weil die Integrale uneigentlich sind und z.B. $\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{x^b}{\ln x}\,dx \end{eqnarray*}$ fuer sich alleine genommen gar nicht existiert.

Mit konkreten Werten fuer a und b kann Wolfram rechnen:

wolframalpha.com/input/?i=int_0^1+(x^5-x^3)%2Fln(x)+dx

16.12.2016, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von 005
und z.B. $\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{x^b}{\ln x}\,dx \end{eqnarray*}$ fuer sich alleine genommen gar nicht existiert.

$\begin{align*} \int\limits_0^1 \frac{x^b-1}{\ln(x)} ~ \dd x \end{align*}$ aber schon, zumindest für $\begin{align*} b>-1 \end{align*}$ .

16.12.2016, 20:22

yellowman

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Hallo zusammen, ich habe es nun hinbekommen.
Noch eine Frage zur Existenz des Integrals und der Begründung zum vertauschen von Integral und Differential.

Es gilt das stetige Funktionen über kompakte Mengen Riemann integrierbar sind.
Bei x=0 taucht ein Problem auf und damit dürfte die Funktion nicht über die kompakte Menge [0,1] integrierbar sein. Mit dem Satz kann man nicht argumentieren?

Es gilt auch monotone und beschränkte Funktionen auf A sind Riemann integrierbar. Die Funktion ist monoton und beschränkt auf A und damit Riemann integrierbar. Sehe ich das richtig?

Warum ist es erlaubt Integral und Differential zu vertauschen. Welcher Satz erlaubt das?

Danke!

17.12.2016, 10:07

yellowman

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Zur Vertauschung von Ableitung und Integral habe ich etwas gefunden. Es bleibt mir allerdings noch unklar wie man zeigt dass das Integral existiert.

Wir haben noch den Satz: Jede beschränkte stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:U\rightarrow\mathbb C \end{eqnarray*}$ auf einer beschränkten offenen Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist über diese integrierbar.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ als Menge betrachte so würde das klappen. Die Beschränktheit der Funktion macht mir allerdings ein Strich durch die Rechnung so dass ich diesen Satz auch nicht nehmen kann.
Das die Funktion integrierbar ist sei wohl offensichtlich da das Integral ausgewertet wurde.

Hat jemand noch eine Idee?

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