Warum Leibnizsche Sektorformel?

15.12.2016, 21:45	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum Leibnizsche Sektorformel? Hallo, ist eine sehr allgemeine Frage, und ich bin mir sicher für jemanden der Ahnung hat wirkt sie äußerst lächerlich, aber: Wozu brauche ich die Leibnizsche Sektorenformel? Jetzt wurde mir beigebracht, ich kann die Fläche, unter einer Kurve, mit dem Integral berechnen. Und nun gibt es Kurven, wo ich für die Fläche, diese Leibnizsche Sektorenformel brauche? Ich habe die Seite in meinem Skript aufgeschlagen, ich habe mir den Wikipedia-Artikel durchgelesen, aber ich begreife nicht ganz, wann diese zum Einsatz kommt, oder kommen soll?
16.12.2016, 09:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Leibnizschen Sektorformel kann man den Flächeninhalt von Flächen berechnen, indem man über deren Randkurve integriert. Man muss also kein Flächenintegral, sondern "nur" ein Kurvenintegral berechnen.Der Flächeninhalt einer Fläche, deren Randkurve die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat, lautet (Leibnizsche Sektorformel): $\begin{eqnarray} A=\tfrac{1}{2}\cdot \oint \underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \dot y \\ -\dot x \end{pmatrix}}_{\text{Skalarprodukt}}\,\,dt \end{eqnarray}$ Mitunter ist der Ortsvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entlang gewisser Teile der Randkurve parallel zum Tangentialvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dies ist z.B. der Fall, wenn die Fläche aussieht wie ein "Tortenstück" (besser: Sektor). Entlang dieser Teile der Randkurve verschwindet das Skalarprodukt in der obigen Leibnizschen Sektorformel, so dass diese Formel noch einfacher wird.

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