Komplexe Polynome

16.12.2016, 14:35

ProtonX

Komplexe Polynome

Hallo.

Ich stecke seit einigen Stunden bei den komplexen Polynomen fest. Ich stosse sowohl im Skript als auch bei den Übungen immer wieder auf die sogenannten Linearfaktoren, deren Bedeutung überhaupt nicht in meinen Kopf will. Hier mal eine Aufgabe:

Betrachten Sie ein Polynom p(z) = a0 + a1*z + a2*z^2 + . . . an*z^n
vom Grad n mit reellen Koeffizienten a0, a1, . . . , an .
Zeigen Sie: Wenn w eine Nullstelle des Polynoms ist, dann ist auch w* eine Nullstelle.

Verstehe da nur Bahnhof. Kann mir das jemand erklären?

16.12.2016, 14:41

HAL 9000

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1) Zum Verständnis der Aufgabe solltest du natürlich wissen, was mit $\begin{align*} w^* \end{align*}$ gemeint ist. Und das wäre was?

2) Essentiell ist die Voraussetzung, dass die Koeffizienten $\begin{align*} a_0,a_1,\ldots,a_n \end{align*}$ reell sind - das wird im Beweis eine Rolle spielen (müssen).

16.12.2016, 14:56

ProtonX

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w* wird das Komplement von w sein. Manche machen offenbar auch einen Strich drüber statt dem *.
Das heisst z.B. wenn w = 1 + j --> w* = 1 - j

Aber was muss ich mir denn unter diesen Koeffizienten vorstellen? sind dies einfach fortlaufende ganze Zahlen? 0,1,2,3,4...n ?

16.12.2016, 15:05

Dopap

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es gilt $\begin{eqnarray*} a_k\in \mathbb R \quad k= 0,1,2,...n \end{eqnarray*}$

alle Koeffizienten sind reelle Zahlen.

16.12.2016, 15:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von ProtonX
Aber was muss ich mir denn unter diesen Koeffizienten vorstellen? sind dies einfach fortlaufende ganze Zahlen? 0,1,2,3,4...n ?

Nein, es sind beliebige reelle Zahlen zulässig - steht doch da.

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Eigentlich bezeichnet man $\begin{align*} w^* \end{align*}$ als die zu $\begin{align*} w \end{align*}$ konjugiert komplexe Zahl (Komplement ist m.W. eher weniger gebräuchlich).

Wichtig sind die Rechenregeln mit diesen konjugiert komplexen Zahlen, die sich rein aus der von dir ja schon angedeuteten Definition $\begin{align*} (a+bi)^*:=a-bi \end{align*}$ ergeben:

$\begin{align*} (z_1+z_2)^* = z_1^* + z_2^* \end{align*}$ für beliebige komplexe $\begin{align*} z_1,z_2 \end{align*}$ ,

$\begin{align*} (z_1\cdot z_2)^* = z_1^* \cdot z_2^* \end{align*}$ für beliebige komplexe $\begin{align*} z_1,z_2 \end{align*}$ ,

$\begin{align*} a^* = a \end{align*}$ für reelle $\begin{align*} a \end{align*}$ .

Mit diesen einfachen Regeln kannst du nämlich für dein Polynom $\begin{align*} p(z^*) = (p(z))^* \end{align*}$ für alle komplexen Zahlen $\begin{align*} z \end{align*}$ nachweisen, was bereits mehr als die halbe Miete zum Nachweis deiner eigentlichen Behauptung ist.

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