Stetige Funktion >> Stetige Umkehrfunktion

16.12.2016, 19:47	dollmminode1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion >> Stetige Umkehrfunktion Hallo, Zunächst die Aufgabe um die es geht: D teil \|R ist abgeschlossen und beschränkt, es sei f ->f(D) (in \|R) eine stetige und injektive Abbildung, dann ist auch ihre Umkehrfunktion stetig. Wir haben in der VL nicht gezeigt, dass f(D) dann auch abgeschlossen ist, nur dass es beschränkt ist. Ich habe gerade überhaupt keinen Plan wo ich anfangen soll das zu beweisen ... kann mir jemand helfen?
17.12.2016, 00:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich nehme an, Kompaktheit sowie die Charakterisierung von Stetigkeit über offene Mengen kennst du noch nicht? Falls ich damit richtig liege, würde ich wie folgt an die Sache herangehen: Zeige links- und rechtsseitige Stetigkeit getrennt. Zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ streng monoton sein muss. Dann nimm dir eine Folge monotone Folge $\begin{eqnarray} (y_n)_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f(D) \end{eqnarray}$ her, die gegen $\begin{eqnarray} y\in f(D) \end{eqnarray}$ konvergiert und zeige, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(y_n)\to f(y) \end{eqnarray}$ . Tipp: zeige erstmal, dass $\begin{eqnarray} (f^{-1}(y_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ überhaupt konvergiert.
17.12.2016, 20:28	Dollmminode	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe! Also ich habe das dann so: (I) zz. f streng monoton: Ang. f nicht streng monoton, dann gibt es mindestens ein paar x!=y aus D mit f(x)=f(y). Widerspruch zu f injektiv. => f streng monoton (II) zz. f ' streng monoton: n.V. f injektiv und f ->f(D) surjektiv => f bijektiv f bijektiv und streng monoton => (Lemma) f ' streng monoton (III) zz. f ' stetig Sei y_n eine monotone Folge aus f(D), dann gibt es eine Folge x_n aus D mit x_n=f '(y_n). Da D beschränkt und abgeschlossen und f stetig folgt f(D) beschränkt (Satz). D.h. y_n ist monton und beschränkt, d.h. y_n ist konvergent in f(D). Es ex. also ein y aus f(D) mit y_n->y (n->inf). Nun ist zu zeigen, dass f '(y_n) -> f '(y). Da y in f(D) gibt es ein x aus D mit f '(y)=x, d.h. x_n->x in D. D.h. f '(y_n) -> f '(y) und das monoton, da f ' streng monoton und y_n monoton. Ich bin verwirrt ... Wie zeige ich jetzt dass das für alle y_n gilt die gegen dieses y konv. Ist das jetzt nicht schon gezeigt?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »