Kritische (bzw. Extrem-) Werte mittels Langrange ermitteln

16.12.2016, 21:01

Elly_92

Kritische (bzw. Extrem-) Werte mittels Langrange ermitteln

Hallo,

ich habe die unten stehende Aufgabe gelöst nach dem folgenden Schema und erhalte 3 Gleichungen

2xy²-2/x+»=0

2yx²-2*y-»=0

x-y=0

Komme aber hier nicht weiter. Die Lösungen sollten 1 und -1 sein, aber auf diese Lösungen komme ich nicht.

Kann mir da jemand helfen?
Danke

Elly

17.12.2016, 09:35

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe Langrange

Zitat:

Original von Elly_92
...
2xy²-2/x+»=0
...

Was soll das sein? Das stimmt auch sonst nicht, die partielle Ableitung sieht anders aus.
----------
Vielleicht meinst du das Richtige, aber dann solltest du dich um eine bessere Darstellung bemühen, schließlich möchtest ja DU eine gute Hilfe bekommen.
Und dazu gehört nun mal, dass du deine Beiträge VOR dem Absenden mit dem "Vorschau"-Button überprüfst!

Es ist

$\begin{eqnarray*} L(x, y, \lambda) = x^2y - x^2 - y^2 + 1 + \lambda(x - y) \end{eqnarray*}$

Dann lauten die 3 Gleichungen richtig:

$\begin{eqnarray*} 2y^2x -2x + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2y - 2y - \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$
--------------------------------------
Eliminiere aus den ersten beiden den Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 2x(y^2 - 1) = -\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y(x^2 - 1) = \lambda \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------
$\begin{eqnarray*} x(y^2 - 1) = -y(x^2 - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Mit y = x wird }\to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(x^2 - 1) = -x (x^2 - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du dran! Erst alle x und danach die sich daraus ergebenden y berechnen!

mY+

17.12.2016, 11:04

Elly_92

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe, ich habe es gestern Abend doch rausgefunden und da sehe ich heute morgen deine Lösung und meins ist ebenfalls richtig. Not macht eben erfinderisch, auch in Mathe.

x= plus minus 1

y= plus minus 1

Jetzt habe ich diese stationären Punkte bzw. die kritischen punkte heraus berechnet. Diese habe ich mit wolfram alpha kontrolliert, und es stimmt.

Nun, woher weiß ich, ob es hoch oder tiefpunkt ist? Unsere dozentin meinte, wir können hier nur die werte aus der näheren umgebung überprüfen?

Kanst du mir hier mit der hinreichenden bedingung helfen?

Vielen Dank und schönes Wochenende.

Elly

17.12.2016, 22:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überprüfung mittels Werten, die nahe "links" und "rechts" der betrachteten Stelle ist möglich und auch ein probates Mittel zur ersten Einschätzung des Extremums.
Naturgemäß ist diese Methode jedoch nicht exakt.

In deinem anderen Beitrag (leider hast du dort nicht geantwortet) ist die Überprüfung mittels der "geränderten Hessematrix" angewandt worden.
Hast du dies dort gesehen und nachvollziehen können?

Hier geht's genau so.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Kritische (bzw. Extrem-) Werte mittels Langrange ermitteln

Verwandte Themen