DGL und Ableitung

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Sito Auf diesen Beitrag antworten »
DGL und Ableitung
Meine Frage:
Folgende Aufgabe:

Sei . Wir wollen hier zeigen, dass


für alle , wobei die verallgemeinerten Binominalkoeffizienten für durch



definiert sind.

Berechnen Sie die Ableitung von und zeigen Sie, dass und die Differentialgleichung


Meine Ideen:
war soweit kein Problem, aber mit komme ich leider an meine Grenzen....

Berechnen der Ableitung:
Darf man den Binominalkoeffizeinten herausziehen? Er hängt ja nicht von ab, oder?

Dann wäre der nächste Schritt:


Hier komme ich aber nicht wirklich weiter....
hat jemand vlt. einen Tipp?

Gruss Sito
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL und Ableitung
Zitat:
Darf man den Binominalkoeffizeinten herausziehen? Er hängt ja nicht von x ab, oder?

1. Alles was sich während der Summation verändert, darf niemals aus der Summe herausgezogen werden.
2. Um die rechte Seite der Anfangsgleichung abzuleiten, sollte man jedes Glied der Summe einzeln nach x ableiten. Dann kann man vermutlich das n mit dem Binomialkoeffizienten verhackstücken. Auf jeden Fall muß dabei der Faktor frei werden. Das kann nur geschehen durch die Verwendung der Gleichung .
Viel Vergnügen!
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL und Ableitung
Also wenn und gilt, dann ist wegen auch zu zeigen, daß gilt.
Zu zeigen daß gilt, war kein Problem. Jetzt geht es nur noch darum, das Gleiche für zu zeigen.

Also zu zeigen ist: oder noch besser:



Also viel Glück!

Ein Hinweis noch: lädt sich von außen in die Summe hinein ziehen, weil es konstant bezüglich Summieren ist.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal vielen Dank an Ulrich Ruhnau!

Ich will es dann doch auch gleich einmal versuchen!

Da der Bin.koeff. nicht aus der Summer heraus darf, ist wohl die Ableitung auch falsch.. Neuer Versuch:



Nun muss ich also zeigen, dass

Leider schaffe ich es auch mit deinem Tipp nicht wirklich...

Meine Idee soweit:

Und jetzt komme ich nicht so recht weiter. Ist folgende Umformung richtig bzw. nützlich für das lösen des Problems?


So könnte ich ja dann das aus der Summe ziehen und hätte wieder zwei Binominalkoeffizienten. Aber summieren kann ich die ja auch nicht, da ich das bzw. nicht restlos aus der Summe bekomme..

Hast du mir vlt. noch mal einen Tipp?

@sockenschuss, Equester
Hmm, entschuldige die Umstände wegen der Umgebung.. Ich dachte eigentlich Mathjax sei zu bervorzugen, falls es denn unterstützt wird. Falls das aber für gewisse User nicht lesbar sein sollte kann ich natürlich auch wieder auf die latex-Umgebung zurück wechseln...
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung innerhalb des Binomialkoeffizienten sieht schon sehr vernünftig aus. So habe ich mir das vorgestellt. Aber etwas fehlt noch: Der Faktor muß sozusagen die Summenglieder verdoppeln. Dann muß man nur noch solche Glieder zusammenfassen, die die selbe x-Potenz haben. Dazu braucht man die Formel, die ich schon geliefert hatte. Damit das Ganze übersichtlicher wird, würde ich z.B. ansetzen und die ersten Glieder für hinschreiben und dann die Formel probieren.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL und Ableitung
Wir wollen zeigen, daß



gilt mit



Dabei ist



Dann mal los:







Ab hier weiter zu machen ist doch einfach oder?
 
 
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann muß man nur noch solche Glieder zusammenfassen, die die selbe x-Potenz haben. Dazu braucht man die Formel, die ich schon geliefert hatte.

Also ich denke ich schreibe es jetzt einfach mal für und mal auf.




und jetzt bin ich mir nicht mehr wirklich sicher wie es weitergeht... Nehmen wir als Bsp:, was eigentlich nichts bringt...

Also ich habe das Problem, das Ganze parktisch durchzuspielen...




und auch hier sehe ich es beim letzten Glied nicht wirklich: . Das kann ich doch nicht so summieren...

Kannst du mit vlt. noch kurz zeigen wo mein Denkfehler ist?
Gruss Sito
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Anhieb entdecke ich zwei Denkfehler:

1. Wenn ich ableite entsteht kein - Term. Das wäre aber bei einer Summe von 0 bis unendlich zu beachten.

2. Die Summe geht bis unendlich. Also gibt es keinen letzten Term.

Außerdem:
Zitat:
Das kann ich doch nicht so summieren...

Klar läßt sich das summieren, der Faktor oder muß nur noch mit dem jeweiligen Binomialkoeffizienten verhackstückt werden. Du hast das doch einmal schon ganz richtig gemacht. Jeder Summand der Summe muß jetzt ein abwerfen, das später aus der Summe ausgeklammert werden muß.

Einen kleinen Fehler muß ich noch bei mir korrigieren:



Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL und Ableitung
Außerdem weise ich darauf hin, daß nicht unbedingt eine Ganzzahl ist. Da müssen wir noch was tun:



Dann ist

Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein ich bin mir immer noch nicht sicher ob ich es wirklich schnalle...


Stimmt die Überlegung jetzt so?^^

Heisst also:

Das wäre ja dann eigentlich die gesuchte Lösung...
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip sollte das die Lösung sein. Ich hätte nur noch mal die ersten Glieder der Summe angeschaut. Außerdem könnte man noch



für zeigen.
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