Integral berechnen 2

16.12.2016, 22:33

yellowman

Integral berechnen 2

Hallo zusammen, ich habe ein weiteres Integral zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\int_0^{\infty}\frac{1-\cos(\alpha x)}{x}e^{-kx}dx \end{eqnarray*}$

Mit der Differentiation nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} I'(\alpha)=\int_0^{\infty}\sin(\alpha x)e^{-kx}dx \end{eqnarray*}$

Mit partieller Integration erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} I'(\alpha)=\frac{\alpha}{k^2+\alpha^2} \end{eqnarray*}$

Mittels Integration erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\frac{1}{2}\ln(k^2+\alpha^2)+c \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich mir es gilt $\begin{eqnarray*} I(1)=0 \end{eqnarray*}$ und damit kann ich meine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} c=-\frac{1}{2}\ln(k^2+1) \end{eqnarray*}$ und somit:

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{k^2+\alpha^2}{k^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

Wolframalpha liefert mir auch hier keine Lösung.

Kann das Ergebnis jemand bestätigen?
Warum ist das Vertauschen von Integral und Ableitung hier erlaubt?

Danke!

16.12.2016, 23:32

005

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RE: Integral berechnen 2

Zitat:

Original von yellowman
Nun dachte ich mir es gilt $\begin{eqnarray*} I(1)=0 \end{eqnarray*}$

Das ist sicher ganz schlecht geraten. Viel besser geraten ist $\begin{eqnarray*} I(1)=\ln\frac{k^2+1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wolframalpha liefert mir auch hier keine Lösung.

Wie beim letzten Mal gibt's aber Ergebnisse fuer konkrete Werte der Parameter.

Zitat:

Warum ist das Vertauschen von Integral und Ableitung hier erlaubt?

Gute Frage! Wer hat Dir denn die Methode beigebracht?

Es gibt da einen Satz ueber die Differentiation von Parameterintegralen nach den Parametern (z.B. auch bei Wikipedia).

16.12.2016, 23:49

yellowman

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Was ein dummer Fehler. Der Kosinus wird für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ Eins. Damit gilt dann $\begin{eqnarray*} I(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Damit kann ich meine Konstante bestimmen.

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{2}\ln(k^2)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=-\frac{1}{2}\ln(k^2) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\frac{1}{2}\ln(k^2+\alpha^2)-\frac{1}{2}\ln(k^2) \end{eqnarray*}$

Damit lautet das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{k^2+\alpha^2}{k^2}\right) \end{eqnarray*}$

Methode beigebracht? Irgendwie klappt das schon. Augenzwinkern

Wir sollen allerdings bei der Übungsaufgabe begründen warum man das anwenden darf.

Danke!

17.12.2016, 00:21

005

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Wenn Du begruenden sollst, warum man hier die Differentiation nach den Parametern unters Integral ziehen darf, dann musst Du den entsprechenden Satz ja kennen. Sogar in einer sehr allgemeinen Form fuer das Lebesgue-Integral. Dass ein entsprechender Satz fuer uneigentliche Riemann-Integrale existieren wuerde, ist mir nicht bekannt. Bei Deinem Beispiel von gestern war teilweise sogar der Integrand unbeschraenkt.

17.12.2016, 10:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Integral berechnen 2
Maple liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }\!{\frac { \left( 1-\cos \left( \alpha\,x \right) \right) {e}^{-kx}}{x}}\,{\rm d}x=\lim _{x\rightarrow \infty }1/2\,{\it Ei} \left( 1, \left( \ln \left( e \right) k-i\alpha \right) x \right) -{\it Ei} \left( 1,kx \ln \left( e \right) \right) +1/2\,{\it Ei} \left( 1,x \left( i \alpha+\ln \left( e \right) k \right) \right) +1/2\,\ln \left( \ln \left( e \right) k-i\alpha \right) -\ln \left( \ln \left( e \right) k \right) +1/2\,\ln \left( i\alpha+\ln \left( e \right) k \right) \end{eqnarray*}$

Gibt es vielleicht noch irgend welche Voraussetungen für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

17.12.2016, 11:31

yellowman

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RE: Integral berechnen 2
Hallo Ulrich Ruhnau, es gibt keine weitere Bedingung an $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .
Das Integral berechnet lautet aber:

$\begin{eqnarray*} I(\alpha)=\int_0^{\infty}\frac{1-\cos(\alpha x)}{x}e^{-kx}dx=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{k^2+\alpha^2}{k^2}\right) \end{eqnarray*}$

Die Begründung der Vertauschbarkeit von Integral und Differential ist mir klar. Dazu habe ich einen Satz gefunden.
Die Begründung der uneigentlichen Riemann Integrierbarkeit folgt dann wohl darauß das die Funktion über $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ absolut Riemann integrabel ist und damit Lebesgue und Riemann integral existieren und gleich sind.

Sehe ich das korrekt?

Danke!

17.12.2016, 18:32

005

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RE: Integral berechnen 2
Natuerlich muss k > 0 sein, weil das Integral sonst gar nicht existiert.

Ansonsten ist Deine Begruendung zur Rechtfertigung der Methode ziemlich wischiwaschi. Mehr faellt mir dazu nicht ein, da Du den gefunden Satz ja nicht angibst.

17.12.2016, 19:42

yellowman

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RE: Integral berechnen 2
Das die Begründung nicht toll ist finde ich natürlich auch eine ziemlich tolle konstruktive Kritik - nicht. Kannst du mir auch eine Alternativlösung vorschlagen?
Die Vertauschbarkeit von Ableitung und Integral hat erstmal nichts mit der Existenz des Integrals zu tun. Mir geht es nur noch darum zu zeigen dass das Integral auch tatsächlich existiert wenn meine Idee so nicht ausreicht.

Danke!

17.12.2016, 19:56

005

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RE: Integral berechnen 2
Du hast den Satz, auf den Du Dich berufen willst, wieder nicht zitiert. Da kannst Du keine weiterfuehrenden Kommentare erwarten.

17.12.2016, 20:28

yellowman

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RE: Integral berechnen 2
Du beziehst dich auf den Satz zur Existenz des Integrals?

Eine Regelfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a=-\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$ zugelassen sind ist genau dann über $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ Lebesgue-integrierbar, wenn das uneigentliche Regelintegral von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert. In diesem Fall stimmen beide Integral überein.

Einen anderen Satz habe ich in meinen Buch nicht gefunden der hier passen könnte.

Danke!

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