Hyperebenen und Ebenen

17.12.2016, 13:00	Roxy578	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperebenen und Ebenen Meine Frage: Wir haben die Definition von Ebenen und Hyperebenen wie folgt Definiert: Ebene: Seien $\begin{eqnarray} x,v,w\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Dann heißt $\begin{eqnarray} E:=\left\{ x+\lambda v+\gamma w:\lambda, \gamma \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ Ebene mit aufpunkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und Richtungsvektoren $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ . Hyperebene: Sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -dimensionaler UVR des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Dann nennt man den affinen Raum $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ eine Hyperebene in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Frage 1: Habe ich nun 3 Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{p} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{q} =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{r} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so ist: $\begin{eqnarray} E_{1}=\left\{\vec{p}+\lambda \vec{q}+\gamma \vec{r}:\lambda ,\gamma \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ eine Ebene aber keine Hyperebene, da kein affiner Raum. jedoch: $\begin{eqnarray} E_{2}=\left\{\vec{r}+\lambda \vec{p}+\gamma \vec{q}:\lambda ,\gamma \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ eine Hyperebene. ?! Frage 2: Ist nun nach der Parameterdarstellung der Ebene gefragt, die durch die Punkte $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{q} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ verläuft müsste ich doch nun eigentlich $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ angeben oder? Meine Ideen: Meine Ideen habe ich weitesgehend im Text mit eingebracht...
17.12.2016, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu Frage 1: $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ sind Ebenen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Weil die Untervektorräume $\begin{eqnarray} \{\lambda \vec q+\gamma \vec r\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{\lambda \vec p+\gamma \vec q\} \end{eqnarray}$ 2-dimensional sind, also die Dimension 2=3-1 im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ haben, sind sie auch Hyperebenen. zu Frage 2: $\begin{eqnarray} \vec p, \vec q, \vec r \end{eqnarray}$ sind Vektoren. Vermutlich ist nach der Ebene durch die Punkte $\begin{eqnarray} P=0+\vec p, Q=0+\vec q, R=0+\vec r \end{eqnarray}$ gefragt . Diese wird in einem beliebigen dieser Punkte durch die Differenz zu den anderen Vektoren aufgespannt. Anmerkung: Eure Definition ist schon ein wenig schlampig, weil die Koordinatenvektoren einmal als Punkt und einmal als Vektor aufgefaßt werden. Besser wäre $\begin{eqnarray} E=\{X+\lambda \vec v+\gamma\vec w: \lambda, \gamma\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$

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