Grenzwert einer Folge nachweisen

17.12.2016, 13:06	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge nachweisen Meine Frage: Hi, wir haben gegeben $\begin{eqnarray} s := \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{eqnarray}$ und sollen zeigen, dass $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+... \end{eqnarray}$ konvergent ist, ´mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{3}{2}s \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich hatte mir überlegt, die $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ erstmal mit dem $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ zu multiplizieren. Dann erhält man die Folge $\begin{eqnarray} \frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{6}-\frac{3}{8}+\frac{3}{10}-... \end{eqnarray}$ . Diese müsste dann ja gleich $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+... \end{eqnarray}$ sein. Um den Ausdruck ähnlicher zu machen, habe ich die Folge dann mal 3 multipliziert : $\begin{eqnarray} \frac{3}{3}+\frac{3}{9}-\frac{3}{6}+\frac{3}{15}+\frac{3}{21}-\frac{3}{12}+\frac{3}{27}+\frac{3}{3}-\frac{3}{18}+... \end{eqnarray}$ , allerdings wird mir ier trotzdem noch nicht ersichtlich, dass die Folgen gleich sind. Nach Wolfram Alpha, ist $\begin{eqnarray} s = ln(2) \end{eqnarray}$ . Also müsste die ursprüngliche Folge gegen $\begin{eqnarray} \frac{3 ln(2)}{2} \end{eqnarray}$ gehen. Man darf die Folge meines wissens ja auch nicht ordnen, weil das würde ja den Grenzwert verändern. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben? Ich sitze hier schon seit Stunden dran und komme einfach nicht weiter.....
17.12.2016, 16:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} s = \color{green} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \color{blue} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \color{red} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \color{black} \pm \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{2} s = \color{green} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \color{blue} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \color{red} + \frac{1}{10} - \frac{1}{12} \color{black} \pm \end{align}$ Addiere die beiden konvergenten Reihen. Bilde in der ersten Reihe Quartette und in der zweiten Duette. Fasse farbenweise zusammen.
17.12.2016, 16:33	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zusammengefasst ergibt sich für s: $\begin{eqnarray} s = \frac{7}{12} +\frac{43}{840} +\frac{37}{1980} +... \end{eqnarray}$ und für s/2: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}s = \frac{1}{4} +\frac{1}{24} +\frac{1}{60} +... \end{eqnarray}$ . Die einzelnen Brüche addiert ergeben dann: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2}s = \frac{5}{6} +\frac{13}{140}+\frac{7}{198} +... \end{eqnarray}$ . Hierbei erkenne ich aber leider noch keine Ähnlichkeit, gar Gleichheit zu $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+... \end{eqnarray}$ . Übersehe ich hier irgendein Muster?
17.12.2016, 18:50	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht helfen dir ja noch ein paar Nullen in Leopolds Ansatz: $\begin{eqnarray} s = \color{green} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \color{blue} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \color{red} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \color{black} \pm \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} s = \color{green} 0+\frac{1}{2}+0 - \frac{1}{4} \color{blue}+0 + \frac{1}{6}+0 - \frac{1}{8} \color{red}+0 + \frac{1}{10}+0 - \frac{1}{12} \color{black} \pm \end{eqnarray}$ Nun addiere mal was untereinander steht...
17.12.2016, 19:21	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, da hatte ich wohl echt ein Brett vorm Kopf. Vielen Dank euch beiden

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