Homomorphismus / Dimension von K-Vektorräumen |
| 17.12.2016, 13:14 | Statista | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Homomorphismus / Dimension von K-Vektorräumen Sei f : V -> V' ein Homomorphismus zwischen K-Vekorräumen, wobei V' endlichdimensional ist. Falls dim(Bi(f)) = dim(V') ist, folgt es, dass f surjektiv ist? Meine Ideen: Die Basis des Bildes ist also genauso groß, wie die Basis der Zielmenge, so werden von Zielmenge und Bild die gleichen Vektorräume aufgespannt. Wenn dimV' = dimV ist, dann ist f bijektiv und somit surjektiv, nach Definition. Es gilt DimV= dim(ker) + dim(im(f)). Somit muss man nachweisen, dass die Dimension des Kerns 0 ist und daraus folgt, dann schlussendlich, dass die Abbildung surjektiv ist. Zusätzliche Fragen: Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig? Ist der Kern nicht schon deswegen 0, weil f linear ist? |
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| 17.12.2016, 13:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Homomorphismus / Dimension von K-Vektorräumen
Damit ist die Frage schon vollständig beantwortet. |
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| 17.12.2016, 13:51 | Statista | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Homomorphismus / Dimension von K-Vektorräumen Hmm, aber daraus erkenne ich noch nicht wirklich, warum f surjektiv sein muss. |
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| 17.12.2016, 14:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dim(Bild(f))=dim(V') , dann ist span(Bild(f))=span(V') , also Bild(f)=V' , denn es ist Bild(f)=span(Bild(f)) und V'=span(V') weil beides Vektorräume sind. |
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| 20.12.2016, 01:11 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Homomorphismus / Dimension von K-Vektorräumen
Wenn nicht surjektiv wäre, dann gäbe es einen Vektor in , der nicht im Bild von ist. Das hieße aber, dass nicht gelten könnte . Die betrachteten Vektorräume sind schließlich endlichdimensional. |
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