Beweis via Riemannscher Summen

17.12.2016, 15:49	Lauralee	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis via Riemannscher Summen Ich verzweifle gerade an einer Aufgabe, vllt kann mir aber jmd von euch weiterhelfen ^.^ Aufgabe: Zeigen Sie für $\begin{eqnarray} a > 1 \end{eqnarray}$ mittels Riemannscher Summen, dass $\begin{eqnarray} \int_{1}^{a} \! log(x) \, dx = a log(a) - a + 1 \end{eqnarray}$ Hinweis: Verwenden Sie die Unterteilungspunkte $\begin{eqnarray} x_{k} = a^\frac{k}{N} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k = 0,1,...,N \end{eqnarray}$ Dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{a^\frac{1}{n}-1 }{\frac{1}{n}} = log(a) \end{eqnarray}$ , kann hierbei hilfreich sein, ist aber bei Verwendung auch zu beweisen. Mein aktueller Stand: Im Skript wird eine Riemannsche Summe so dargestellt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{N}f(\xi_{k})\Delta x_{k} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Delta x_{k} = x_{k} - x_{k-1} \end{eqnarray}$ kann ich denke ich $\begin{eqnarray} \Delta x_{k} = a^\frac{k}{N} - a^\frac{k}{N-1} \end{eqnarray}$ einsetzen, falls das korrekt ist. Aber ich weiss nicht was ich für $\begin{eqnarray} f(\xi_{k}) \end{eqnarray}$ einsetzen kann. Laut einer Quelle im Internet kann man hier einen beliebigen Wert im Intervall $\begin{eqnarray} I_{k} \end{eqnarray}$ angeben. Wobei $\begin{eqnarray} f(\xi_{k}) \end{eqnarray}$ die Höhe der einzelnen "Rechtecke" angibt, falls ich das richtig verstanden habe. Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch. Als weiteren Tipp haben wir noch bekommen dass wir Geometrische Reihen anwenden können, wobei das mir jetzt ja noch nicht hilft, da ich ja noch Startschwierigkeiten habe..
17.12.2016, 15:54	Lauralee	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist ich habe einen Fehler beim Eintippen gemacht und kann es leider nicht korrigieren. für $\begin{eqnarray} \Delta x_{k} = x_{k} - x_{k-1} \end{eqnarray}$ kann ich denke ich $\begin{eqnarray} \Delta x_{k} = a^\frac{k}{N} - a^\frac{k-1}{N} \end{eqnarray}$ einsetzen, so sollte es eigentlich sein. Und die Formel für die Riemannsche Summe ist so benannt: $\begin{eqnarray} S_{Z}(f)= \sum\limits_{k=1}^{N}f(\xi_{k})\Delta x_{k} \in \mathbb R \end{eqnarray}$

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