Satz von Stokes

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18.12.2016, 14:00	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Stokes Berechne das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_{C}^{} \! ydx+zdy+xdz \, \end{eqnarray}$ wenn C die Kreisperipherie ist, welche durch die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=R^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x + y +z =0 \end{eqnarray}$ eschrieben wird und aus Richtung der positiven x -Achse betrachtet entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn durchlaufen wird, einmal mit Stoke und einmal mit geeigneter Parametrisierung von C. Ich hänge gerade daran, wie mein Vekorfeld aussieht. Ist es einfach( y,z,x)= F. Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch, warum im Kurvenintegral "+" steht? Kann mir jmd meine Denkblokade lösen . Wie würde ich außerdem die Parametrisierung dieser Kurve hinkriegen? Über Tipps würde ich mich sehr freuen
19.12.2016, 08:42	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nach dem Satz von Stokes muss einmal für das Kurvenintegral und einmal für das Oberflächenintegral der Rotation des Vektorfeldes dasselbe rauskommen. Erstmal das Kurvenintegral. Bei der Kurve handelt sich um einen Kreis mit Radius R. Parametrisierung: $\begin{eqnarray} x= cost (t), x'= - sint(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= sin(t), y'=cos(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=0, z'=0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann für das Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} (sin(t) - sin(t) + 0\cdot cos(t)+ cos t \cdot 0) dt=-\int_0^{2\pi} sin^2 t dt= -\pi \end{eqnarray}$ Nun zum Oberflächenintegral: Das Vektorfeld ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus dann $\begin{eqnarray} rot F = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Integral hat folgende Gestalt: $\begin{eqnarray} \int_A rot F\cdot n \cdot dA \end{eqnarray}$ Der Normalenvektor geht dann so: Da die Oberfläche der Kugel als eine Niveaufläche der skalaren Funktion $\begin{eqnarray} \phi=x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray}$ aufgefasst werden kann, steht der Gradient von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ senkrecht auf dieser Fläche: Also $\begin{eqnarray} grad(\phi) = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Normierung des Gradienten erhält die Flächennormale $\begin{eqnarray} N= \frac {2}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix}= N= \frac {1}{R} \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann also das Integral $\begin{eqnarray} \int_A \frac {1}{R} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix} dA= \int_A \frac {1}{R} -(x+y+z) dA =0 \end{eqnarray}$ Wegen der gegebenen Bedinung x+y+z=0 Irgendwo muss jetzt was falsch sein. Es kommen verschiedene Ergebnisse raus. Kann mir jmd da weiterhelfen???
19.12.2016, 09:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben sind 2 Flächen (1) Kugelfläche um den Nullpunkt (0;0;0) mit dem Radius R (2) Ebene durch den Nullpunkt (0;0;0), die senkrecht auf dem Vektor (1;1;1) steht Die Schittfläche beider Flächen ist ein Kreis mit dem Radius R, dessen Fläche senkrecht auf dem Vektor (1;1;1) steht. Entlang der Kreislinie sollst du ein Kurvenintegral berechnen $\begin{eqnarray} I=\oint \vec F\,\,d\vec x \end{eqnarray}$ Mit dem Satz von Stokes wandelt das Wegintegral in ein Flächenintegral um $\begin{eqnarray} I=\int rot(\vec F)\cdot \vec n \,\,dA=\int \int \underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}}_{rot(\vec F)}\cdot \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec n}\,\,dA \end{eqnarray}$
19.12.2016, 09:35	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt es mein oberflächenintegral ist richtig? Für den Kreis geht wohl meine Standardparametrisierung nicht? Ich komme gerade nicht drauf. Kannst du mir einen Tipo geben
19.12.2016, 09:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde nur das Oberflächenintegral berechnen, denn die Parametrisierung des kreisförmigen Weges ist komplizierter ("schiefer" Kreis). Bei deinem Oberflächenintegral hast du den Normalenvektor falsch berechnet: Die Kreisfläche liegt laut Aufgabenstellung in derjenigen Ebene, die senkrecht auf dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ steht. Folglich lautet der Normalenvektor des Kreises $\begin{eqnarray} \vec n =\tfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wie du richtig berechnet hast, lautet die Rotation $\begin{eqnarray} rot \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also ist der Integrand im Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \int \int \underbrace{rot(\vec F)\cdot \vec n}_{\text{Konstante}}\,dA \end{eqnarray}$ eine Konstante. Mit anderen Worten. Das Oberflächenintegral ergibt ein gewisses Vielfache der Kreisfläche $\begin{eqnarray} A=R^2\pi \end{eqnarray}$ .
19.12.2016, 10:05	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist ich muss auch das Kreisintegral berechnen. Kannsr du mir da auch weiterhelfen Danke für die Erklärung für das Oberflächenintegral
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19.12.2016, 13:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wähle folgende 3 senkrechten Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec n_1=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec n_2=\tfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec n_3=\tfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Laut Aufgabenstellung steht der Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n_3 \end{eqnarray}$ senkrecht auf dem Kreis. Da die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec n_1, \vec n_2 \end{eqnarray}$ senkrecht auf diesem Vektor $\begin{eqnarray} \vec n_3 \end{eqnarray}$ stehen, spannen $\begin{eqnarray} \vec n_1, \vec n_2 \end{eqnarray}$ diejenige Ebene auf, in welcher der Kreis liegt. Folglich hat der Kreis die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=R\cdot \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec n_1}\cdot \cos(\phi)+R\cdot \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec n_2}\cdot \sin(\phi)=R\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \\ \tfrac{2}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ___________Formel (1) Zu berechnen ist das Kurvenintegral entlang dieses Kreises $\begin{eqnarray} I=\oint \vec F\,d\vec x \end{eqnarray}$ Das Differenzial $\begin{eqnarray} d\vec x \end{eqnarray}$ gewinnen wir, indem wir die obige Parameterdarstellung (1) nach dem Winkel differenzieren, also $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{d\phi}=\dot {\vec x} \end{eqnarray}$ . Umstellen liefert das Differenzial $\begin{eqnarray} d\vec x=\dot {\vec x}\,\,d\phi \end{eqnarray}$ . Einsetzen dieses Differenzials in das Integral liefert ein Integral über den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I=\int_0^{2\pi} \underbrace{\vec F\cdot \dot {\vec x}}_{\text{Skalarprodukt}}\,d\phi \end{eqnarray}$ ______________Formel (2) Darin benötigen wir die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ . Das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ gewinnen wir, indem wir die Komponenten x, y, z aus der obigen Parameterdarstellung (1) in dessen Komponenten einsetzen, also $\begin{eqnarray} \vec F=\underbrace{\begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix}}_{\text{gegeben}}=R\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \\ \tfrac{2}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\sin(\phi) \end{pmatrix}}_{\text{x,y,z aus Formel (1)}} \end{eqnarray}$ ________________Formel (3) Der Vektor $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ in (2) ist wie gesagt, die 1.Ableitung der obigen Parameterdarstellung (1) nach dem Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}=\tfrac{d\vec x}{d\phi}=R\cdot \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\cos(\phi) \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(\phi)+\tfrac{1}{\sqrt{6}}\cos(\phi) \\ \tfrac{2}{\sqrt{6}}\cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ___________Formel (4) Setze nun den Vektor $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ aus (3) und den Vektor $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ aus (4) in das Integral (2) ein und berechne dort im Integranden das Skakarprodukt. Anschließend integriere über den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ab.
19.12.2016, 13:38	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine ausführlichr Antwort. Ich verstehe den Ablauf und dein Vorgehen, jedoch weis ich nicht wie man auf die Vektoren kommt? Wie siehst du das? Gibt es da einen Trick?
19.12.2016, 14:02	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder probierst du einfach aus, dass das Skalarprodukt mit (1,1,1) einfach 0 ist? Wenn ja bleibt für mich nur noch die Frage wie die auf (1,1,1) kommst? Wäre nett wenn du mir noch einmal.helfen könntest?
20.12.2016, 10:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Wie komme ich auf die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec n_1, \vec n_2, \vec n_3 \end{eqnarray}$ ? Antwort: Der Kreis liegt laut Aufgabenstellung in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=0. Diese Ebenengleichung kann man als Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ schreiben . Anschaulich bedeutet dies, dass der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ senkrecht auf der Ebene steht, in welcher der Kreis liegt. Diesen Vektor habe ich auf die Länge 1 normiert und mit $\begin{eqnarray} \vec n_3=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezeichnet. Nun dürfte es dir nicht schwer fallen, zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec n_1, \vec n_2 \end{eqnarray}$ zu finden, welche senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec n_3 \end{eqnarray}$ stehen und welche untereinander ebenfalls senkrecht sind. Ich habe einfach etwas probiert... Diese 2 Vektoren sind natürlich nicht eindeutet. Ich habe alle 3 senkrechten vektoren auf 1 normiert. -------------------------------- Übrigens fehlte in meinem gestrigen Beitrag in der Parameterdarstellung des Kreises der Faktor R=Radius. Ich habe das dort nachträglich korrigiert.
20.12.2016, 22:41	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Stokes Ich habe das ganze auch gerechnet, allerdings ohne den Satz von Stokes zu benutzen und komme auf: $\begin{eqnarray} I=\pi R^2\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Das deckt sich bis auf das Vorzeichen mit dem von Ehos gerechneten.
21.12.2016, 12:35	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Stokes Danke für eure Hilfe Der Tipp mit der Ebenengleichung hat mir sehr geholfen. Danke

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