Minimum bei 2 Veränderlichen

18.12.2016, 15:00

Elly_92

Minimum bei 2 Veränderlichen

Hallo,

x1=x x2=y

f(x,y)=e^(x+y)+e^(x-y)-(3/2x)-(1/2y)

Ableitung nach x

f´x(x,y)= e^(x+y)+e^(x-y)-(3/2)

Ableitung nach y

f´y(x,y)=e^(x+y)-e^(x-y)-(1/2)

Ableitung von Funktion nach x1 nach y

f´x,y(x,y)=e^(x+y)-e^(x-y)

Die 1. Ableitungen nach x und y gleich 0 setzen.

e^(x+y)+e^(x-y)-(3/2)=0

e^(x+y)-e^(x-y)-(1/2)=0

1 Gleichung auflösen:

e^(x+y)+e^(x-y)-(3/2)=0
-3/2=e^(-2y)

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, irgendwo liegt ein Fehler. Kann mir da jemand helfen?
Danke. Die Lösung sagt etwas ganz anderes.

18.12.2016, 16:54

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RE: Minimum bei 2 Veränderlichen
Was hast du hier gemacht?

Zitat:

e^(x+y)+e^(x-y)-(3/2)=0
-3/2=e^(-2y)

Ich würde die beiden Gleichungen addieren, die du aus dem Nullsetzen der ersten Ableitungen bekommst.

18.12.2016, 16:57

mYthos

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1. Gleichung:
Wo sind die x geblieben? Weder x noch y fallen hier weg!

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \ e^x e^y + \frac{e^x}{e^y} = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x (e^y + \frac 1 {e^y}) = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

18.12.2016, 17:09

Elly_92

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Zitat:

Original von mYthos
1. Gleichung:
Wo sind die x geblieben? Weder x noch y fallen hier weg!

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \ e^x e^y + \frac{e^x}{e^y} = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x (e^y + \frac 1 {e^y}) = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

Meinst du bereits bei lösung der 1. Ableitung nach 0? (Letzter Schritt).

hab da für x=0,34657 raus. ist das korrekt?

18.12.2016, 17:33

mYthos

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Ja, das ist korrekt so (EDIT: Allerdings gilt dies nur für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ). Wie bist du darauf gekommen? Übrigens ist $\begin{eqnarray*} e^x = \frac {\sqrt 2} 2 \end{eqnarray*}$
Wenn du nun die Gleichungen addierst, kommt

$\begin{eqnarray*} e^x e^y = 1 \end{eqnarray*}$
EDIT: Fehler korrigiert!

Damit kann man leicht $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ berechnen ...

mY+

18.12.2016, 17:39

Elly_92

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EDIT (mY+): Vollquote entfernt.

Tut mir Leid,

ich meinte y=0,34657 und nicht x.

Das Problem ist, wenn ich das y habe und nun in x einsetze, fällt x weg und kann das nicht berechnen.

18.12.2016, 18:08

mYthos

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Ich musste etwas korrigieren, siehe bitte oben!

WIE hast du eigentlich y berechnet?
x fällt NICHT weg, wenn du y einsetzst (wo?)
x fällt allerdings weg, wenn du die Gleichungen dividierst, ich nehme an, daraus hast du y berechnet.
Nun musst du wieder in eine der beiden Ausgangsgleichungen eiinsetzen, oder lt. Vorschlag in die Gleichung, die sich aus der Addition der beiden Gleichungen ergibt.

$\begin{eqnarray*} e^x e^y = 1 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} e^y = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^x = ... \end{eqnarray*}$

Oder in Gl. (1):

$\begin{eqnarray*} e^x(\sqrt 2 + \frac 1 {\sqrt2}) = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x (4 + 2) = 3 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac {\sqrt 2} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

18.12.2016, 18:42

Elly_92

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Edit (mY+): Vollquote entfernt. Bitte NICHT mit Vollzitat antworten, es gibt auch einen "Antworten"-Button!

Hey, genau so habe ich das gemacht und das richtige ergebnis berechnet. vielen dank für deine hilfe und die mühe. nicht umsonst bist du in diesem forum so bekannt, weil gerade du gut in erklären bist.

18.12.2016, 23:03

mYthos

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Gerne. Schön dass du dies verstanden hast und zu Ende rechnen konntest.

mY+

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