Anwendung Fubini (Zählmaß, Lebesguemaß)

18.12.2016, 19:05	Marrie	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung Fubini (Zählmaß, Lebesguemaß) Meine Frage: Guten Abend zusammen! Sitze grad an einer Aufgabe zum Thema Anwendung von Fubini, Aufgabe ist als jpg angehängt. Ich habe dabei gerade Probleme mit dem Verständnis der in der Aufgabe gegeben Funktion. Meine Ideen: Wenn ich einfach mal mit der linken Seite anfange, wo ich als erstes das Zählmaß anwenden muss: (X ist Indikatorfkt. und mu das Zählmaß und die zugehörige Menge zu X bitte Mengenklammern dazu denken) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! X_{[(x,x)\|x\in(0,1)]} (x_{1} ,x_{2}) \, d\mu \, d\lambda = ? \end{eqnarray}$ Verstehe jetzt nich wann diese Indikatorfkt. 1 wird und wann 0, weil sie ja eigentlich 1, für alle Paare (x,y) wo beide Elemente aus (0,1) sind. Da (0,1) eine endliche Menge ist, von der aus hier ja abgebildet wird, ist das Zählmaß davon ja 1 und das Integral wäre somit doch: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! X_{[(x,x)\|x\in(0,1)]} (x_{1} ,x_{2}) \, d\mu \, d\lambda = \int_{0}^{1} \! 1 \, d\lambda = 1 \end{eqnarray}$ Bin mir dabei sehr unsicher und würde mich über jede Hilfe freuen! Liebe Grüße Marisa
18.12.2016, 19:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wert des Integrals auf der linken Seite ist zwar 1, deine Begründung stimmt aber nicht. Das fängt schon damit an, dass das Intervall (0,1) nicht endlich ist. Die Indikatorfunktion $\begin{eqnarray} \chi_{\{(x,x)\mid x\in(0,1)\}} \end{eqnarray}$ ist 1 in allen Punkten $\begin{eqnarray} (x,y)\in (0,1)^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ (d.h. auf der Geraden $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ ); und sonst 0. Das Integral einer Funktion bezüglich des Zählmaßes ist die Anzahl der "Nicht-Nullstellen".
20.12.2016, 09:41	Marrie	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige die verspätete Antwort und schonmal danke für deine Hinweise! Ich verstehe deinen letzten Satz allerdings noch nicht, du sagst das das Integral einer Funktion bzgl. des Zählmaßes die Anzahl der "Nicht-Nullstellen" sind, aber die Funktion ist doch die gerade y = x und hat somit auf dem Intervall (0,1) beliebig viele "Nicht-Nullstellen" , also alle Punkte die auf der Geraden liegen oder verstehe ich das Falsch? Und wenn ich das Integral der rechten Seite betrachte, gilt doch wenn ich zuerst bzgl. des Lebesgue Maßes integriere, das die Gerade im R^2 eine Lebesgue Nullmenge ist und die 0 wiederrum eine endliche Menge (ein Punkt) und somit bzgl. des Zählmaßes integriert 1 ergibt oder liege ich da falsch? Also: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! X_{[(x,x)\|x\in(0,1)]} (x_{1} ,x_{2}) \, d\lambda \, d\mu= \int_{0}^{1} \! 0 \, d\mu = 1 \end{eqnarray}$
20.12.2016, 13:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray} \chi_{\{(x,x)\mid x\in(0,1)\}} \end{eqnarray}$ bezüglich des Zählmaßes auf $\begin{eqnarray} (0,1)^2 \end{eqnarray}$ integrieren willst, wäre das $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Hier geht es aber um etwas anderes: Du hast ein Doppelintegral, das du von innen nach außen berechnen musst. Das innere Integral auf der linken Seite $\begin{eqnarray} \int_0^1\! f\, d\mu_1 \end{eqnarray}$ berechnest du, indem du für festes $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} x_1\mapsto f(x_1, x_2) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ integrierst (bzgl. des Zählmaßes). Das Ergebnis ist dann nur noch eine Funktion von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ . Diese integrierst du dann über $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ bzgl. des Lebesgue-Maßes (das ist das äußere Integral).
20.12.2016, 21:16	Marrie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch immer Schwierigkeiten mit dem Verständnis, wenn ich also erst das innere Integral der linken Seite berechne, also f bzgl. eindimensionalem Zählmaß integriere, dann halte ich quasi y fest und schaue mir an wann dann noch x = y gilt und dies ist nur in einem Punkt und somit ist das Zählmaß 1 oder hab ich das falsch verstanden? Falls dies dann 1 wäre, so wäre die konstante Funktion f(x)=1 über dem Intervall (0,1) bzgl. Lebesguemaß integriert ja auch 1 und somit die Rechnung richtig oder nicht? (Habe Notation nochmal geändert um x und y klarer zu machen) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! X_{[(x,x)\|x\in(0,1)]} (x ,y) \, d\mu(y) \, d\lambda(x) = \int_{0}^{1} \! \mu(\left\{x\right\} ) \, d\lambda(x) = \int_{0}^{1} \! 1 \, d\lambda(x) = 1 \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite ist aber das Maß des einen Punktes im inneren Integral 0 und somit das ganze Integral 0 oder nicht? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! X_{[(x,x)\|x\in(0,1)]} (x ,y) \, d\lambda(x) \, d\mu(y)= \int_{0}^{1} \! \lambda(\left\{ y\right\} ) \, d\mu(y) = \int_{0}^{1} \! 0 \, d\mu(y) = 0 \end{eqnarray}$ Also ist dies ein Beispiel für die Vorraussetzung der Sigma Endlichkeit der Maße beim Satz von Fubini wenn ich das richig verstehe? (da Zählmaß nicht Sigma endlich?)
20.12.2016, 23:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das hört sich doch gut an, was du schreibst.
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