Trigonometrischen Ausdruck vereinfachen

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18.12.2016, 20:29	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrischen Ausdruck vereinfachen Meine Frage: Ich muss folgende Sache vereinfachen. Ich stehe total auf dem Schlauch: $\begin{eqnarray} sin^4 (u) \cdot cos^4 (v) + sin^4 (u) \cdot sin^4 (v) + cos^4 (u) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also erstmal ausklammern: $\begin{eqnarray} sin^4 (u) ( cos^4 (v) + sin^4 (v) ) cos^4 (u)= sin^4 (u) ( (cos^2 (v))^2 + (sin^2 (v))^2 ) + cos^4 (u)= sin^4 (u) + cos^4 (u)....=1 \end{eqnarray}$ Die frage ist, ob das so stimmt, vor allem $\begin{eqnarray} cos^2 (v))^2 + (sin^2 (v))^2 =1 \end{eqnarray}$
18.12.2016, 21:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\cos^2(v))^2+(\sin^2(v))^2=1 \end{eqnarray}$ ist falsch; es gilt nur $\begin{eqnarray} \cos^2(v)+\sin^2(v)=1 \end{eqnarray}$ . Hast du die Aufgabe korrekt aufgeschrieben? Ich sehe nämlich nicht, was man da machen könnte. Auch Wolframalpha zeigt keine wirkliche Vereinfachung an: Klick.
18.12.2016, 21:24	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht darum
18.12.2016, 21:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann weiß ich leider auch nicht weiter.
18.12.2016, 21:41	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht egtl um ein Oberflächenintegral über eine Kugel mit Radius R um den Nullpunkt nämlich folgendes $\begin{eqnarray} \int_{K}^{} \! (x^3,y^3,z^3)n d\sigma \, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\phi=0}^{2\pi } \int_{\theta=0}^{\pi } \! R^3\begin{pmatrix} sin^3 \theta \cdot cos^3 \phi \\ sin^3 \theta \cdot sin^3 \phi \\ cos^3 \theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin \theta \cdot cos \phi \\ sin \theta \cdot sin \phi \\ cos \theta \end{pmatrix} \, R^2 sin \theta \cdot d\theta \cdot d\phi = R^5 \int_{\phi=0}^{2\pi } \int_{\theta=0}^{\pi } (sin^4 \theta \cdot cos^4\phi)+ sin^4 \theta \cdot sin^4 \phi + cos^4 \theta) sin \theta \cdot d \theta \cdot d\phi<br /> \end{eqnarray}$ Die Frage war für mich wie ich den letzten Integrand lösen kann? Hast du eine Idee
18.12.2016, 22:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gucken wir uns zuerst den ersten Summanden an: $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^5(\theta)\cos^4(\phi)\, d\theta\, d\phi = \int_0^{2\pi} \cos^4(\phi)\, d\phi \cdot \int_0^\pi \sin^5(\theta)\, d\theta \end{eqnarray}$ Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \sin^5(\theta) \end{eqnarray}$ kannst du z.B. so bestimmen: $\begin{eqnarray} \sin^5(\theta)=\sin^4(\theta)\cdot \sin(\theta)=(1-\cos^2(\theta))^2\cdot \sin(\theta) \end{eqnarray}$ . Jetzt kommst du mit der Substitution $\begin{eqnarray} u=\cos(\theta) \end{eqnarray}$ weiter. (So funktioniert das auch für andere ungerade Potenzen von sin/cos.) Für gerade Potenzen sind die folgenden beiden Identitäten hilfreich: $\begin{eqnarray} \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray}$
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18.12.2016, 22:13	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ich versuche gleich alle Integrale zu berechnen. Ich hoffe meine rechnung stimmt bis jetzt?? Weist du zufällig, was am Ende raus kommen soll?
18.12.2016, 22:30	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbst gerechnet habe ich es nicht. Wolframalpha sagt $\begin{eqnarray} \frac{12\pi R^5}{5} \end{eqnarray}$ (falls ich mich bei der Eingabe nicht vertippt habe).
18.12.2016, 23:00	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem Satz von Gauss muss doch auch gelten dass dieses Oberflächenintegral gleich dem Volumenintegral der Divergenz des Vektorfeldes ist, also: $\begin{eqnarray} \int_V div F dV = 3 \int_V (x^2+y^2+z^2) dV = 3 \int_V R^2 dV = 3 R^2 \int_V dV = 3 R^2 \frac{4}{3} \pi R^3= 4 R^5 \pi \end{eqnarray}$ F=(x^3,y^3,z^3) Habe ich da was falsch gemacht?
18.12.2016, 23:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du über die ganze Kugel integrierst, ist der Radius nicht mehr konstant R.
18.12.2016, 23:15	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist mein Fehler. Wie geht es richtig?
18.12.2016, 23:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das Integral $\begin{eqnarray} \int_V (x^2+y^2+z^2)\, dV \end{eqnarray}$ in Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray} (r,\phi,\theta) \end{eqnarray}$ schreibst, ist $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=r^2 \end{eqnarray}$ ; es ergibt sich also: $\begin{eqnarray} \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2\cdot r^2\sin(\theta)\, d\theta \, d\phi\, dr \end{eqnarray}$
18.12.2016, 23:39	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso Jetzt verstehe ich das. Danke Ich habe noch Ausrechenprobleme bei dem Oberflächenintegral: $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} sin^5 \theta d \theta\cdot \int_0^{2\pi} cos^4 \phi d\phi + \int_0^{\pi} sin^5 \theta d \theta \cdot \int_0^{2\pi} sin^4 \phi d \phi + \int_0^{2\pi} cos^4\theta sin \theta d \theta=<br /> \left[-cos\theta + \frac{2}{3} cos^3 \theta -\frac{1}{5} cos^5 \theta \right]_{0}^{\pi } \cdot \left[\frac{3}{8}\phi + \frac{1}{4} sin(2 \phi)+ \frac{1}{32} sin(4 \phi) \right]_{0}^{2\pi} + \left[-cos\theta + \frac{2}{3} cos^3 \theta -\frac{1}{5} cos^5 \theta \right]_{0}^{\pi } \cdot \left[\frac{3}{8}\phi + \frac{1}{4} sin(2 \phi)+ \frac{1}{32} sin(4 \phi) \right]_{0}^{2\pi}+ + \left[-\frac{1}{5} cos^5 \theta \right]_{0}^{pi} = = \frac{16}{15} \frac{3}{4}\pi + \frac{16}{15} \frac{3}{4}\pi + \frac{2}{5} <br /> =\frac{4}{5}\pi + \frac{4}{5}\pi + \frac{2}{5} \end{eqnarray}$ Wo ist mein Fehler
19.12.2016, 00:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim letzten Integral hast du die phi-Integration vergessen.
19.12.2016, 00:44	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
aha Danke Ich hätte noch eine Frage. Ich habe noch ein letztes Integral nämlich ein Umlaufintegral. Dabei ist $\begin{eqnarray} \delta \Omega \end{eqnarray}$ der Rand der Integrationsbereichs $\begin{eqnarray} B= U_3((0,0)) \end{eqnarray}$ .Es soll noch ein Strich über dem Ganzen sein. Ich wes nicht, wie der in Latex geht. Auf jeden Fall was bedeutet diese Menge für meine Integrationsgrenzen. $\begin{eqnarray} \int_{\delta \Omega} e^{x} sin y dx + e^{x} cos y dy \end{eqnarray}$ Dieses Integral mit folgenden: $\begin{eqnarray} \int_{\delta \Omega} (e^{x}- sin y) dx dy \end{eqnarray}$ Wie rechne ich da weiter??
19.12.2016, 11:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} B= \overline{U_3((0,0))} \end{eqnarray}$ meinst du sicherlich den abgeschlossenen Kreis um (0,0) mit Radius 3? Und es geht um das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_{\partial B} e^x\sin(y)\, dx+e^x\cos(y)\, dy \end{eqnarray}$ ? Und was ist mit dem Integral $\begin{eqnarray} \int_{\delta \Omega} (e^{x}- sin y) dx dy \end{eqnarray}$ ?
19.12.2016, 11:30	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich wollte das gegebene Integral mit Satz von Green umwandeln. Ich habe die Ableitung falsch gebildet. Die heben sich dann weg und das Integral wird 0. $\begin{eqnarray} \int \int_B e^{x} cos y - e^{x} cos y =0 \end{eqnarray}$
19.12.2016, 11:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Ja, dann passt das.
19.12.2016, 11:36	Phythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine tolle Hilfe. Schönen Tag dir noch
19.12.2016, 11:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dir ebenfalls.

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