e^x/x^k Divergenz beweisen

18.12.2016, 21:31

Mänd

e^x/x^k Divergenz beweisen

Meine Frage:
Guten Tag,
ich habe die folgende Aufgabe:
Zeigen sie:

Der Grenzwert von e^x/x^k mit k Element von den natürlichen Zahlen ist unendlich.

lim_x->00 (e^x/x^k) = 00

Meine Ideen:
Ich habe keine Idee wie ich das beweisen soll :I

18.12.2016, 22:22

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder l'Hospital anwenden.
Dann bleibt irgendwann im Nenner eine Konstante.
Oder?

18.12.2016, 22:35

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man l'Hospital noch nicht verwenden darf, kann man auch über die Potenzreihendarstellung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ gehen.

19.12.2016, 21:20

Mänd123

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep L'Hopital darf ich nicht verwenden, wie mach ich es dann?

19.12.2016, 21:33

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, über die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion. Schreib dir die mal hin, und dividiere summandenweise durch $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ .

19.12.2016, 22:21

Mänd123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} {\sum\limits_{n=0}^{\infty } {x^n \over n!} \over x^k} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } {x^{n-k} \over n!} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt doch dann nicht oder weil diese Reihe sollte ja nicht divergieren oder?
Und sonst fällt mir nicht ein was ich noch machen könnte Hammer

19.12.2016, 22:29

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mänd123
Aber das stimmt doch dann nicht oder weil diese Reihe sollte ja nicht divergieren oder?

Punktweise (für festes x) ist die Reihe natürlich immer noch konvergent.

Es geht aber um die Reihenwerte für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Tipp: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n-k}}{n!}=\frac{x^{-k}}{0!}+\frac{x^{1-k}}{1!}+...+\frac{x^{-1}}{(k-1)!}+\sum_{n=k}^\infty \frac{x^{n-k}}{n!} \end{eqnarray*}$

19.12.2016, 22:39

Mänd123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach natürlich dummer Fehler tut mir leid.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } {x^{n-k} \over n!} = ... + e^{x} \end{eqnarray*}$ , wobei das ... gegen null geht für $\begin{eqnarray*} x->\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ geht ja gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x->\infty \end{eqnarray*}$

Wäre das dann schon ein Beweis? Also ich kann ja noch schreiben, dass 1\over x^k gegen null geht, dazu hatten wir einen Satz und, dass e^x gegen unendlich geht.

19.12.2016, 22:48

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung: Die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=k}^\infty \frac{x^{n-k}}{n!} \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .
Welchen Wert die Summe genau hat, ist aber auch egal. Wichtig ist nur, dass alle Summanden (bis auf den für $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ ) bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergieren.

Die ersten Summanden konvergieren gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ; also muss die gesamte Summe gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergieren.

19.12.2016, 22:52

Mänd123

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay und wieso ist diese Summe nicht $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ?
Aber so erschließt sich das für mich auch vielen Dank smile

19.12.2016, 22:56

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Wieso sollte sie? Augenzwinkern

19.12.2016, 23:22

Mänd123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach wegen dem n! habs verstanden dankeschööön smile

)))

20.12.2016, 10:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wie gesagt, über die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion. Schreib dir die mal hin, und dividiere summandenweise durch $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich braucht man es gar nicht summandenweise, sondern nur für einen einzigen, passend gewählten Summanden. Basierend auf der Reihendarstellung kann man ja so argumentieren: Für positive $\begin{align*} x \end{align*}$ sind sämtliche Reihenglieder von $\begin{align*} e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{align*}$ positiv, damit ist der Reihenwert größer als jedes einzelne Reihenglied. d.h. $\begin{align*} e^x > \frac{x^n}{n!} \end{align*}$ . Das gilt speziell auch für $\begin{align*} n=k+1 \end{align*}$ , damit haben wir

$\begin{align*} \frac{e^x}{x^k} > \frac{x^{k+1}}{(k+1)!x^k} = \frac{x}{(k+1)!} \end{align*}$

Was das für $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ bedeutet, sollte klar sein.

20.12.2016, 10:33

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal: Sehr cool! Freude

Neue Frage »

Antworten »

e^x/x^k Divergenz beweisen

Verwandte Themen