Grenzwert Logarithmus

19.12.2016, 15:55	Prinzenrolle_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Logarithmus Meine Frage: Hallo, ich komme bei meiner Grenzwertberechnung momentan nicht weiter. In der Aufgabe wird bereits genannt, man soll l'Hospital verwenden. Die Aufgabe war: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }x + \frac{1}{ln(1-\frac{1}{x} )} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Formel habe ich schon ein wenig umgestellt, komme aber trotzdem nicht zum Ergebnis. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }\frac{ln((1-\frac{1}{x} )^{x} )+1}{ln(1-\frac{1}{x} )} \end{eqnarray}$
19.12.2016, 15:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erstmal die Substitution $\begin{align} t=\frac{1}{x} \end{align}$ vornehmen. Dann geht es um $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \left( x + \frac{1}{\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)} \right) = \lim_{t\to +0} \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{\ln(1-t)} \right) = \lim_{t\to +0} \frac{\ln(1-t)+t}{t\ln(1-t)} \end{align}$ . Nun L'Hospital (zweimal). EDIT: Es geht auch direkt mit L'Hospital, d.h., ohne diese Substitution. Allerdings sind die Ausdrücke dann wegen der diversen inneren Ableitungen etwas hässlicher.
19.12.2016, 16:16	Prinzenrolle_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab's gleich durchgerechnet, vielen Dank! Substitution hatte ich irgendwie nicht im Kopf...
19.12.2016, 22:35	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ohne L'Hospital... Aus der Reihenentwicklung des Log erhält man folgende Abschätzungen: $\begin{eqnarray} x-\frac x{1+\frac 1{2x}+\frac 1{x^2}}>x+\frac 1{\ln\left(1-\frac 1x\right)}>x-\frac 1{1+\frac 1{2x}} \end{eqnarray}$ die ein Ablesen des Grenzwertes ermöglichen.

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