Konvergenz oder Divergenz von Reihen

19.12.2016, 22:23

dishonored05

Konvergenz oder Divergenz von Reihen

Hey Leute,
ich bin gerade echt am verzweifeln, was meine uni Hausaufgaben angeht, da ich das thema kovergenz/divergenz in Analysis 1 nicht verstehe...

Meine Aufgabe lautet:
Beweise folgende reihen auf Divergenz oder Konvergenz
(a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{n\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\sqrt[n]{5-1} )^{n} \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n(3+(-1)^n)}{n} \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand dabei helfen ?
Das wäre echt nett

20.12.2016, 09:00

klarsoweit

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RE: Konvergenz oder Divergenz von Reihen
Helfen können wir schon, aber von dir wird auch Mitarbeit erwartet. Welche Konvergenzkriterien kennst du denn so?

Frage zur Aufgabe b: ist die korrekt abgeschrieben? Wenn ja, sollte die nun wirklich kein Problem darstellen. smile

20.12.2016, 10:14

HAL 9000

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Bei c) hilft eine generell nützlich Hilfsaussage:

Zitat:

Ist $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ konvergent und $\begin{align*} \sum_n b_n \end{align*}$ divergent, so ist $\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) \end{align*}$ divergent.

Begründung: Angenommen, $\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) \end{align*}$ wäre konvergent. Dann gilt gemäß Rechenregeln mit konvergenten Reihen, dass dann auch

$\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) - \sum_n a_n = \sum_n (a_n+b_n-a_n) = \sum_n b_n \end{align*}$

konvergent ist, Widerspruch zur vorausgesetzten Divergenz von $\begin{align*} \sum_n b_n \end{align*}$ .

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