Stetigkeit bei Wahrscheinlichkeitsmaßen anwenden

19.12.2016, 23:03

friggonaut

Stetigkeit bei Wahrscheinlichkeitsmaßen anwenden

Hallo liebe Mathematiker,

ich möchte gerne folgende Aussage beweisen:
$\begin{eqnarray*} \textrm{Sei }\mathbb{P}\textrm{ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf } \mathbb{N}\textrm{. Für jedes } \epsilon > 0 \textrm{ gibt es dann eine Primzahl p, so dass } \mathbb{P}(\{p,p + 1,p + 2,...\}) < \epsilon. \end{eqnarray*}$

(Tipp: Schreiben Sie die Negation der Behauptung und versuchen Sie eine geeignete Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu verwenden, um einen Widerspruch zuerreichen.)

Mein Lösungsansatz:
Sei P die Menge aller Primzahlen.
Ich habe den Tipp befolgt und zunächst die zu zeigende Aussage negiert. Die negierte Aussage lautet:
$\begin{eqnarray*} \exists\epsilon>0\forall p \in P: \mathbb{P}(\{p,p + 1,p + 2,...\}) \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun habe ich herausgefunden, dass die "geeignete Eigenschaft", von der im Tipp die Rede ist, die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Stetigkeit von oben und/oder von unten ist. Diese hatten wir wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \textrm{Sei }\mathbb{P} \textrm{ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Ereignisraum } (\Omega, E)\textrm{. Dann gilt für alle } E_1, E_2, E_3, ... \in E: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_1\subseteq E_2\subseteq E_3 \subseteq ... \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(E_n)=\mathbb{P}( \bigcup_{\i=1}^\infty\ E_i) \end{eqnarray*}$ (Stetigkeit von unten)
und
$\begin{eqnarray*} E_1\supseteq E_2\supseteq E_3 \supseteq ... \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(E_n)=\mathbb{P}( \bigcap_{\i=1}^\infty\ E_i) \end{eqnarray*}$ (Stetigkeit von oben)

Ab jetzt stehe ich leider auf dem Schlauch, da ich noch nicht weiß, wie das helfen soll einen Widerspruch herzuleiten. Demensprechend bin ich für alle Ideen sehr dankbar. Gott

20.12.2016, 07:34

HAL 9000

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Sei $\begin{align*} p_n \end{align*}$ die $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Primzahl. Dann wähle $\begin{align*} E_n=\{p_n,p_n+1,p_n+2,\ldots\} \end{align*}$ und nutze

Zitat:

Original von friggonaut
$\begin{eqnarray*} E_1\supseteq E_2\supseteq E_3 \supseteq ... \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(E_n)=\mathbb{P}( \bigcap_{\i=1}^\infty\ E_i) \end{eqnarray*}$ (Stetigkeit von oben)

20.12.2016, 16:37

friggonaut

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Hallo HAL 9000,

vielen Dank für Deine Hilfe!
Dank dieser habe ich Folgendes notieren können:

Sei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Primzahl. Dann definiere: $\begin{eqnarray*} E_n:=\{p_n,p_{n+1},p_{n+2},...\} \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} E_1=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2=\{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_3=\{5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_4=\{7,8,9,10,11,12,13,14,15,...\} \end{eqnarray*}$
und so weiter.

Offensichtlich gilt $\begin{eqnarray*} E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq E_4 \supseteq ... \end{eqnarray*}$
Das heißt, wir können den Satz von der Stetigkeit von oben (siehe Beitrag HAL 9000 oben) anwenden und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\{p_n,p_{n+1},p_{n+2},...\}) = \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(E_n) = \mathbb{P}(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ...) \end{eqnarray*}$

Ab dieser Stelle bin ich mir nicht ganz sicher, ob das was ich mache richtig ist und zum Erfolg führt.
Offenbar ist doch:
$\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 = E_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 \cap E_3 = E_3 \end{eqnarray*}$
und so weiter.
Also $\begin{eqnarray*} \forall i \in \mathbb{N}: E_i \cap E_{i+1} = E_{i+1} \end{eqnarray*}$
Wie genau muss ich mir dann aber $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ... \end{eqnarray*}$ vorstellen?
Wenn durch den Schnitt immer wieder beliebig viele Zahlen aus {2,3,4,5,6,7,...} von "vorne" entfernt werden, ist dann $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ... = \varnothing \end{eqnarray*}$ ?
Falls ja, müsste ja gelten: $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ...) = \mathbb{P}(\varnothing)=0 \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon\leq\mathbb{P}(\{p_n,p_{n+1},p_{n+2},...\})=0 \end{eqnarray*}$
Und insbesondere: 0<0, was den Widerspruch darstellt.
Ist das so korrekt? verwirrt

20.12.2016, 20:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von friggonaut
Wenn durch den Schnitt immer wieder beliebig viele Zahlen aus {2,3,4,5,6,7,...} von "vorne" entfernt werden, ist dann $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ... = \varnothing \end{eqnarray*}$ ?

Es ist unnötig, das sukzessive zu betrachen - eher so: Der Durchschnitt enthält alle Zahlen, die in allen beteiligten Mengen enthalten sind. Solche Zahlen gibt es aber gar nicht, also ist der Durchschnitt leer, Punkt.

Zitat:

Original von friggonaut
Falls ja, müsste ja gelten: $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4 \cap ...) = \mathbb{P}(\varnothing)=0 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von friggonaut
Also: $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon\leq\mathbb{P}(\{p_n,p_{n+1},p_{n+2},...\})=0 \end{eqnarray*}$

Versteh ich nicht, was du da treibst. unglücklich

Wir sind bei $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(E_n) = 0 \end{align*}$ , und mit der üblichen $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Defintion des Grenzwertes folgt direkt die Behauptung.

20.12.2016, 21:46

friggonaut

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OK, danke auch für diese Erklärung.

Zitat:

Original von friggonaut
Also: $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon\leq\mathbb{P}(\{p_n,p_n+1,p_n+2,...\})=0 \end{eqnarray*}$

Versteh ich nicht, was du da treibst. unglücklich

Ich auch nicht. Entschuldige. Das war Quatsch.

Zitat:

Ok, ich versuchs mal:

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(E_n) = 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : \vert \mathbb{P}(E_n) - 0 \vert < \varepsilon ~~\text{ (Definition der Konvergenz eines Grenzwertes)} \end{align*}$
$\begin{align*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : \mathbb{P}(E_n) < \varepsilon \end{align*}$
$\begin{align*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : \mathbb{P}(\{p_n,p_n+1,p_n+2,...\}) < \varepsilon \end{align*}$

20.12.2016, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von friggonaut
Aber wieso ist $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ jetzt eine Primzahl?

Das hat keiner behauptet. Leider hast du aber anscheinend vergessen, wie ich oben $\begin{align*} E_n \end{align*}$ (und damit auch $\begin{align*} E_{n_0} \end{align*}$ ) definiert hatte. Vielleicht liest du es einfach nochmal nach, es steht schließlich noch da.

20.12.2016, 22:20

friggonaut

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Ist alles gut. Habe meinen Beitrag schon editiert. Die Frage nach der Primzahl ist hinfällig. Ich danke Dir!

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