Umkehrfunktion von 2^2x + 2^x

20.12.2016, 14:04

Danbo

Umkehrfunktion von 2^2x + 2^x

Meine Frage:
Hallo Leute, das ist mein erster Beitrag hier.
Ich hänge gerade daran, die Umkehrfunktion von
$\begin{eqnarray*} 2^2y + 2^y = x \end{eqnarray*}$
aufzustellen

Meine Ideen:
Ich hätte gesagt, dass man da substituieren kann und dann mithilfe der quadratischen Ergänzung eine Binomische Formel erstellt.

Kommt das hin? Wenn ja, weiß ich leider nicht genau wie.

20.12.2016, 14:13

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es!
Setze $\begin{eqnarray*} 2^y = u \end{eqnarray*}$ und löse die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} u^2 + u - x = 0 \end{eqnarray*}$ mittels der Lösungsformel.
So brauchst du nicht einmal die quadratische Ergänzung!

mY+

20.12.2016, 14:18

Danbo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau bekomme ich dann das u isoliert?

Wüsste jetzt leider nicht welches u, also u oder u^2 ich auf die andere seite bringe und wann ich rücksubstituiere.. unglücklich

20.12.2016, 14:22

Danbo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die PQ formel wäre ja eine Idee, aber dann habe ich das Problem, dass p und q = 1 sind.

Somit hätte ich dann unter der Wurzel 1/4 - 1, was ja eine negative Zahl ergibt.

20.12.2016, 14:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon einmal quadratische Gleichungen gelöst?
Ganz am Anfang verwendet man zwar die quadratische Ergänzung und kreiert dann für die nächsten paar hundert Gleichungen der Form
$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

diese Formel
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 - q)} \end{eqnarray*}$
um nicht jedes Mal den ganzen Sermon durchführen zu müssen.
------
Aber es hindert dich jetzt niemand daran, auch mit der quadratischen Ergänzung zu rechnen.
Die Rücksubstitution geschieht mittels Logarithmieren

$\begin{eqnarray*} 2^y = u \ \to \ y = \frac{\ln u}{\ln 2} \end{eqnarray*}$

mY+

20.12.2016, 14:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danbo
Ich hänge gerade daran, die Umkehrfunktion von
$\begin{eqnarray*} 2^2y + 2^y = x \end{eqnarray*}$
aufzustellen

Da es oben nirgendwo deutlich berichtigt wurde - gemeint ist wohl eher $\begin{eqnarray*} 2^{2y} + 2^y = x \end{eqnarray*}$ .

20.12.2016, 14:46

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich stillschweigend vorausgesetzt (LateX-Fehler). Deswegen kommt es ja auch zu der Gleichung

$\begin{eqnarray*} u^2 + u - x = 0 \quad \text{wegen } 2^{2y} = (2^y)^2 = u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist zwar $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , aber NICHT $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ! Bedenke, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist NICHT die Lösungsvariable!

Bemerkung: Selbst wenn du irrtümlich für q = -1 gesetzt hättest, wäre der Ausdruck unter der Wurzel NICHT negativ geworden (Vorzeichen beachten!).

mY+

20.12.2016, 14:55

Danbo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das gab es wohl einen Fehler.

Ich bin nun wie folgt vorgegangen:

2^(2y) + 2^y mit hilfe der quadratischen ergänzung zur Binomischen formel gemacht.

(2^y + 1/2) ^2 - 1/4 = x

und dann einfach mit umstellen, wurzel ziehen und den ln bilden.

Mein Ergebnis ist nun y = log 2 (wurzel(x+1/4) - 1/2)

Danke euch allen für die hilfe.
PS: Bitte nicht böse sein, dass ich nicht den Formel Editor benutzt habe.

20.12.2016, 15:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

So weit ganz gut gemacht, aber ein Fehler ist dennoch darin:
Es ist durch log(2) zu dividieren (!), falls du nicht gerade den $\begin{eqnarray*} \log_2 \end{eqnarray*}$ (Basis 2) meinst.

Und: Wie lautet die Definitionsmenge für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn es eine reelle Funktion sein soll?

mY+

21.12.2016, 00:36

Danbo

Auf diesen Beitrag antworten »

Soll zur Basis zwei gemeint sein, da sich in der aufgabe ln (...)/ln(2) ergibt.

21.12.2016, 21:46

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dann passt es smile

mY+

21.12.2016, 22:30

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

falls die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to (0;\infty) , \quad x\mapsto 2^{2x}+2^x \end{eqnarray*}$
heißen sollte ist das in Ordnung, aber schon bei

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to [0,\infty) \quad x\mapsto 2^{2x}+2^x \end{eqnarray*}$

gibt's keine Umkehrfunktion mehr. Und das ist schnell passiert Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Umkehrfunktion von 2^2x + 2^x

Verwandte Themen