Gruppe Funktionen

20.12.2016, 14:19

yellowman

Gruppe Funktionen

Hallo, ich habe die Menge $\begin{eqnarray*} G=\{f_1(x)=x,f_2(x)=\frac{1}{1-x},f_3(x)=\frac{x-1}{x},f_4(x)=\frac{1}{x},f_5(x)=1-x,f_6(x)=\frac{x}{x-1}\} \end{eqnarray*}$

gegeben mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} (f_i\circ f_j)(x)=f_i(f_j(x)) \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen das $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit der Verknüfpung eine Gruppe bildet.

Meine Idee:
Ich muss zeigen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, Assoziativität, neutrales Element, inverses Element.

Abgeschlossenheit weiß ich noch nicht wie ich das gezeigt bekomme.

Assoziativität: $\begin{eqnarray*} (f_i\circ f_j)\circ f_k=f_i\circ (f_j\circ f_k) \end{eqnarray*}$

Linke Seite: $\begin{eqnarray*} (f_i\circ f_j)\circ f_k=(f_i(f_j(f_k)))(x) \end{eqnarray*}$
Rechte Seite: $\begin{eqnarray*} f_i\circ (f_j\circ f_k)=f_i\circ (f_j(f_k))(x)=f_i(f_j(f_k)))(x) \end{eqnarray*}$

Damit stimmt linke und rechte Seite der Gleichung überein und damit müsste die Kommutativität gelten.

Neutrales Element: Es existiert $\begin{eqnarray*} f_j(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_i\circ f_j=f_i \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich das neutrale Element gezeigt?

Inverses Element: Es existiert $\begin{eqnarray*} f_j(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_i\circ f_j=1 \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich das inverse Element gezeigt?

Danke!

20.12.2016, 14:42

klarsoweit

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RE: Gruppe Funktionen

Zitat:

Original von yellowman
Linke Seite: $\begin{eqnarray*} (f_i\circ f_j)\circ f_k=(f_i(f_j(f_k)))(x) \end{eqnarray*}$
Rechte Seite: $\begin{eqnarray*} f_i\circ (f_j\circ f_k)=f_i\circ (f_j(f_k))(x)=f_i(f_j(f_k)))(x) \end{eqnarray*}$

Hm. Formal ist das etwas wackelig, denn links steht eine Funktion und rechts auf einmal ein Funktionswert an der Stelle x.

Zitat:

Original von yellowman
Damit stimmt linke und rechte Seite der Gleichung überein und damit müsste die Kommutativität gelten.

Es ging doch eher um die Assoziativität? verwirrt

Zitat:

Original von yellowman
Neutrales Element: Es existiert $\begin{eqnarray*} f_j(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_i\circ f_j=f_i \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich das neutrale Element gezeigt?

Hast du dir schon mal f_1 näher angesehen?

Zitat:

Original von yellowman
Inverses Element: Es existiert $\begin{eqnarray*} f_j(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_i\circ f_j=1 \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich das inverse Element gezeigt?

Rechts sollte keine 1 stehen, sondern eine Funktion, die das neutrale Element ist.

20.12.2016, 15:05

yellowman

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Ich habe es hinbekommen.

Danke!

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