Invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen

20.12.2016, 15:41	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen Meine Frage: Hey, wir haben die invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in Mat(3;\mathbb R ) \end{eqnarray}$ gegeben, und sollen sie als Produkt von Elementarmatrizen der Form $\begin{eqnarray} F_{kl} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_{\alpha } \end{eqnarray}$ darstellen. Meine Ideen: Zu allererst bin ich mir nicht sicher, was das mit der Invertierbarkeit zu tun hat. Ich weiß wie man das Inverse bestimmt, aber braucht man das hier? Sonst weiß ich nur, dass $\begin{eqnarray} F_{kl} \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, oder \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Bei $\begin{eqnarray} F_{\alpha } \end{eqnarray}$ ist ja einfach an der k-ten Stelle statt einer 1 ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Wie soll man jetzt vorgehen? Das einzige was man verändern kann, um überhaupt auf Brüche zu kommen, ist doch das Alpha. Aber dann müsste ja ein einziger Wert der einen Matrix, Einfluss auf 4 Komponenten von B haben, um auch auf negative Werte zu kommen. Wie soll das gehen? Vielen Dank für jede Hilfe.
22.12.2016, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Elementarmatrizen kann man die Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von links und von rechts bearbeiten, so dass man die Einheitsmatrix erhält (falls $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ invertierbar ist). Die Produkte der Elementarmatrizen stellen damit im Gauß-Algorithmus $\begin{eqnarray} XBY=I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix her, und es ist $\begin{eqnarray} B=X^{-1}IY{-1}=X^{-1}Y{-1} \end{eqnarray}$ ein Produkt von Elementarmatrizen.

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