Basis des Orthogonalen Komplements

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Orthogonalen Komplements
Hallo,



Sei

Berechne

Nun kann man das ja machen indem man eine Matrix definiert wobei derren Zeilen gerade die Vektoren sind.

Also:

Wir sehen:

Man sieht hier auch sofort, dass .

[Natürlich ist das hier ein eher umständlicher Weg, aber darum gehts nicht.]

Ich denke ich habe hier eine Verständnislücke. Dazu eine einfache Frage:

Frage 1: Was genau repräsentiert die Matrix hier?

Nach meinem Verständnis, ist es die Abbildung welche den frisst und rausspuckt.

Wie dem auch sei. Nun soll man eine Orthonormale Basis des Orthogonalen Komplements von finden.

Dazu gibt es mindestens 2 Lösungswege:

1. Wir berechnen eine Basis des Kernes von A und wenden auf diese Basis Gram-Schmidt an. [Es ist ja: , sieht man leicht wenn man das Skalarprodukt betrachtet und die Definition vom Kern.]

2. Wir berechnen die ONB von . Dann erweitern wir zu einer ONB von in dem wir Gram-Schmidt auf die Vektoren anwenden.

Konkret ist hier . Die sind wohl die Standarbasisvektoren.

Frage 2: Ich sehe 2. nicht wirklich. Wir bilden ja erstmal eine ONB von . Soweit, sogut. Wir erweitern mit den beiden Standardbasisvektoren und kriegen eine Basis vom . Wieso machen wir das? Nun orthogonalisieren wir diese Basis und bekommen damit eine Basis von . Das erschliest sich mir gerade nicht.

Ich denke, die eigentliche Frage hier ist: Krieg ich nach zweimaligem orthonormalisieren der Basis eines Vektorraums immer eine Basis des orthogonalen Komplements? Ich denke nicht, ich denke, ich kann da Gram-Schmidt anwenden wie ich lustig bin. Die resulitierende Basis repräsentiert immer den Vektorraum. Oder ist das falsch?


Ich sehe nicht, wo bei 2) der Schritt hin zum Orthogonalen Komplement gemacht wurde.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild einer Matrix ist der Spaltenraum, nicht der Zeilenraum, also ist die Transponierte von A eine Matrix, die frisst und V ausspuckt, nicht A selbst, es sei denn du assoziierst Matrizen mit der Abbildung und schreibst x als Zeilenvektor anstatt dem gebräuchlicheren mit Spaltenvektoren.

Die Schlussfolgerung aus dem Rang ist korrekt.

Deine Methode 1 funktioniert im Allgemeinen nicht. Wenn der Beweis von leicht ist, würde ich den gerne mal sehen.

Methode 2 ist zielführend. Wann immer du eine Orthonormalbasis {e_i} eines Raumes hast und du teilst die Basis in zwei disjunkte Teilmengen auf, so sind die davon erzeugten Unterräume orthogonal zueinander. Das kann man direkt nachrechnen: Man nimmt sich zwei Elemente aus den Unterräumen her, stellt sie als Linearkombinationen der Basis dar, setzt ins Skalarprodukt ein und rechnet aus. Das Verfahren 2 führt nun zu einer Orthonormalbasis von R^4. Außerdem ist der Aufspann der ersten beiden Basisvektoren genau V. Der Aufspann der beiden anderen muss nun ein zu V orthogonaler Unterraum sein, der Dimension 2 hat. Das kann nur das orthogonale Komplement von V sein.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich werde noch gescheit Antworten, aber wohl erst so am 26. Gerade etwas stressig.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke, ich habe die Grundidee der 2. Methode verstanden. Deine Erklärung macht im Grunde Sinn. Muss mir da mal paar Beispiele zurecht legen, aber es scheint relativ klar.

Natürlich hast du wegen der Matrix recht, also dass die Transponierten sozusagen den auf den Unterraum abbildet.

Aber nach etwas überlegen, muss ich sagen, dass mir der 1. Lösungsweg doch unklar ist. Den gefragten Beweis kann ich nicht liefern, da das so nicht möglich ist. Das orthogonale Komplement kann ja nicht im Raum selbst liegen.

Wir haben: [Wenn wir als f gerade die Identitätsabbildung nehmen, so ist, wie du gesagt hast, die Abbildungsmatrix hier die transponierte.]

Was sie ja jetzt gemacht haben ist:

1. Basis vom Kern von A berechnet
2. Gram Schmidt darauf angewendet.

Somit ist hier jedoch nicht (wobei ich letzteres gemeint habe,)

Ich hoffe die Notation ist nicht zu verwirrend hier.

Was ich nicht sehe, ist wieso gilt. (Also: Wieso ist der Kern der transponierten Abbildungsmatrix gleich dem orthogonalen komplement?)
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist



Außerdem ist , denn in den Zeilen von steht ja gerade ein Erzeugendensystem von .
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Clearly_wrong
Es ist



Außerdem ist , denn in den Zeilen von steht ja gerade ein Erzeugendensystem von .


So, ein Kaffe und ein Nickerchen später klappt das alles wohl hoffentlich etwas besser :P. Ich empfehle dir : zu nutzen. Es ist einfacher zu lesen.

[Nebenbei: Wie kriegtst du die Äquivalenzpfeile alle auf die gleiche "Höhe"?]

Der Beweis ist zwar mathematisch "klar", jedoch fehlt mir da eine "Intepretation". Mir fehlt die Übung in dem ganzen, merke ich.

Es geht mir hier um den Zusammehang von Bild, Kern, Spaltenraum, Zeilenraum und Orthogonalität. Ich habe ein wneig gelesen und rumprobiert.

Hier einige Aussagen, stimmt das so?

Sei

1. Ich hatte Links-Kernel glaube ich nie, aber das was du hier gezeigt hast, ist gerade, dass der Links-Kernel gerade dem orthogonalen Komplement unserer Abbildung entspricht oder? Das ist für mich jetzt einfach ein technischer Fakt, aber ohne grosse "Intepretation".

2. Spaltenraum ist gleich dem Bild unserer Abbildung - naja, ist klar. Im Prinzip leitet man damit ja das ganze anfangs her. Wenn man berechnet, gewichtet man ja jede Spalte gerade mit jeder Komponente => Linearkombination => span(spalten) => V

3. Der Spaltenraum von B ist gleich dem Zeilenraum der transponierten von B.

4. Der Kern von B ist das orthogonale Komplement des Zeilenraumes von B.

Falls diese Aussagen stimmen, werde ich nochmal probieren diese für mich zu zeigen und ich denke, damit sollte dann die Aussage (*) klarer werden.

Frage: Nun noch zu deiner Aussage, dass das 1. Verfahren nicht immer ginge. Ich muss echt sagen, dass mir kein Beispiel einfällt, bei dem es nicht funktionieren würde.

Wobei ich mich hier immer nur mit endlichen Dimensionen beschäftige.
 
 
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ich weiß nicht, was ein Links-kernel ist.

2) richtig

3) richtig

4) richtig, aber nur im reellen Fall

Das 1. Verfahren funktioniert doch ohne Einschränkung, ich dachte, das sei falsch, aber es stimmt doch und folgt sogar aus einem ganz allgemeinen Satz, der mir bekannt ist, an den ich aber nicht gedacht habe.


Das Ausrichten der Äquivalenzpfeile funktioniert mit richtig gesetzten & Symbolen an den Stellen, an denen man Dinge ausgerichtet haben möchte und \\ für Zeilenumbrüche. Zitiere meinen Beitrag, um es dir anzusehen. Es scheint aber nur in einer mathjax-Umgebung zu funktionieren. Die muss anders implementiert sein, als die Latex-Umgebung.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke. Komplex ist ein gutes Stichwort! Muss ich mal rumprobieren.

Wegen Link-Kernel [keine Ahnung ob man das im Deutsche so kennt]
https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(linear_algebra)#Left_null_space

Danke dir - das ganze scheint jetzt um einiges klarer zu sein. Noch etwas Übung und es passt hoffentlich. smile
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