Matrix potenzieren (Eigenwerttheorie)

21.12.2016, 20:21	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix potenzieren (Eigenwerttheorie) Hallo, finden Sie alle reellen Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^3=\begin{pmatrix}3&-4&0\\2&-3&0\\19&-10&8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zu meiner Überraschung wurde hier die Eigenwerttheorie benutzt, dazu einige Fragen. Diese Matrix hat die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1=-1, \lambda_2=1, \lambda_3=8 \end{eqnarray}$ mit den Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_1=(1,1-,1)^T, \ v_2=(2,1,-4)^T,\ v_3=(0,0,1)^T \end{eqnarray}$ Dann gilt mit $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix}1&2&0\\1&1&0\\-1&-4&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} D=S^{-1}A^3S=(S^{-1}AS)^3 \end{eqnarray}$ . Wir suchen also alle Matrizen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B^3=D. \end{eqnarray}$ Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weiter wird gesagt: "Da alle Eigenwerte von D verschieden sind, sind alle Eigen- räume von D eindimensional. [Ist klar] Das Potenzieren einer Matrix lässt deren Eigenräume invariant, in unserem Fall also insbesondere die Richtung aller Eigenvektoren. [Wieso?] Des- halb ist B die einzige Matrix, welche $\begin{eqnarray} B^3=D \end{eqnarray}$ erfüllt. Wir finden also: $\begin{eqnarray} A=SBS^{-1} \end{eqnarray}$ woraus wir $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bekommen. [Das ist mathematisch klar] ----------- Die Frage ist wirklich, wieso wir überhaupt den Ansatz zum lösen verwenden. Ich sehe die Aufgabe und das sollte mich irgendwie an das Diagonalisieren erinnern.(Ich meine, ich kann mir denken, dass wir, eine Diagonalmatrix, oder wohl eine JNF finden, die die gleiche Abbildung, also A; repräsentiert. Wir suchen also diese Diaognalmatrix/JNF und "transformieren" danach wieder zurück - sozusagen, right?] Aber wieso klapt das? Hätte meine Matrix 2 Eigenwerte und somit zwei Eigenräume, wobei einer die Dimension 2 hätte - hätte ich dann mehrere Möglichkeiten? Kann mir jemand ein Beispiel geben, wo ich mehrere möglichkeiten für eine derartige Matrix A habe? Generell war es halt etwas überraschend dass sie das Problem so gelöst haben.
23.12.2016, 22:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A^3=0 \end{eqnarray}$ (Nullmatrix) hat mehrere Lösungen, ebenso $\begin{eqnarray} A^3=I \end{eqnarray}$ (Einheitsmatrix)

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