Beweis per Induktion: (1+a)^n => 1+n*a

21.12.2016, 20:42

LexDex

Beweis per Induktion: (1+a)^n => 1+n*a

Hallo

ich scheitere im Moment an folgenden Induktionsbeweis:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : n > 1, a \geq -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} \geq 1+ n \cdot a \end{eqnarray*}$

Ich hab ganz im allgemeinen noch probleme mit Induktionsbeweisen für Ungleichungen.

Mein Ansatz:

IA: Sei n = 2;
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{2} \geq 1+2 \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1²+2a + a² \geq 1 + 2a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+2a+a² \geq 1 + 2a \end{eqnarray*}$ => Reicht dies als Induktionsanfang? Es ist ja zu erkennen das die Bedingung stimmt. Aber ist das ausführlich genug?

IS:
-> IV: $\begin{eqnarray*} zz. \forall n \in \mathbb N , n > 1, a \geq -1 : (1+a)^{n} \geq 1+ n \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \geq 1+ (n+1)\cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} \cdot (1+a) \geq 1 + an +a \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht weiter. Ist das hier nun auch schon klar genug das ich aufhören kann? Ich weiß zwar durch die Induktionsvorraussetzung dass $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} \geq 1+ n \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt, aber nicht wie ich zeige das der hintere teil $\begin{eqnarray*} \cdot(1+a) \end{eqnarray*}$ mehr ist als $\begin{eqnarray*} +a \end{eqnarray*}$

Ich habe zum Beispiel versucht mit Substition mir das ganze etwas anschaulicher zu machen.
Ich bin mir aber nicht sicher ob man das so darf und ob es etwas bringt.
Sei $\begin{eqnarray*} \gamma := (1+a)^{n} \wedge \lambda := (1+n \cdot a) \end{eqnarray*}$
dann kann man die Induktionsvorraussetzung umschreiben zu:
$\begin{eqnarray*} \gamma \geq \lambda \end{eqnarray*}$
und obige Ungleichung umschreiben zu:
$\begin{eqnarray*} \gamma \cdot (1+a) \geq \lambda +a \end{eqnarray*}$
Das könnte ich dann ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \gamma + \gamma \cdot a \geq \lambda + a \end{eqnarray*}$
Lässt man nun das bereits Vorrausgesetzte weg bleibt:
$\begin{eqnarray*} \gamma \cdot a \geq a \end{eqnarray*}$

Sollte das bis hier richtig sein: Muss ich hier noch etwas spezielles beachten, da ja $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N , n > 1, a \geq -1 \end{eqnarray*}$ gilt?

22.12.2016, 00:00

mYthos

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RE: Beweis per Induktion: (1+a)^n => 1+n*a
Aus deinem Induktionsanfang folgt doch schon (du musst die Ungleichung beidseitig reduzieren!)

$\begin{eqnarray*} a^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Erledigt!

Zitat:

Original von LexDex
...
IS:
-> IV: $\begin{eqnarray*} zz. \forall n \in \mathbb N , n > 1, a \geq -1 : (1+a)^{n} \geq 1+ n \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \geq 1+ (n+1)\cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} \cdot (1+a) \geq 1 + an +a \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht weiter.
...

Nun ist

$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} = (1+a)^n(1+a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) \ [\text{laut IA gilt: }(1+a)^n \geq 1+na] \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite ist $\begin{eqnarray*} 1+(n+1)a \end{eqnarray*}$ zu isolieren, $\begin{eqnarray*} na^2 \end{eqnarray*}$ wird abgetrennt.

mY+

22.12.2016, 09:01

klarsoweit

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RE: Beweis per Induktion: (1+a)^n => 1+n*a

Zitat:

Original von LexDex
Reicht dies als Induktionsanfang? Es ist ja zu erkennen das die Bedingung stimmt.

Warum machst du nicht den Induktionsanfang mit n=1 ?

Ich schieb das mal in die Analysis.

22.12.2016, 17:21

Helferlein

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RE: Beweis per Induktion: (1+a)^n => 1+n*a
@Klarsoweit: Vermutlich weil in der oben zitierten Aufgabe für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : n \color{red} > \color{black} 1 \end{eqnarray*}$ steht Augenzwinkern

Es sei denn es wurde falsch wiedergegeben.

22.12.2016, 18:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helferlein
Vermutlich weil in der oben zitierten Aufgabe für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : n \color{red} > \color{black} 1 \end{eqnarray*}$ steht Augenzwinkern

Allerdings ist nicht verboten, mehr nachzuweisen, als gefordert ist - zumal dann, wenn dadurch der Beweis einfacher wird. Insofern würde ich als Induktionsanfang $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ wählen, um die Aussage für alle $\begin{align*} n\geq 0 \end{align*}$ statt nur für $\begin{align*} n>1 \end{align*}$ nachzuweisen. Augenzwinkern

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