Vektoralgebra: Vektoren untersuchen

22.12.2016, 13:24

Soka

Vektoralgebra: Vektoren untersuchen

Meine Frage:
Ich weiß, dass hier nur Hilfe bei einer Lösung angeboten wird. Ich leider jedoch extrem unter Zeitdruck und muss bis heute Abend diese Aufgabe lösen und weiß nicht weiter. Daher wäre ich für Lösungsvorschläge und alle Tipps dankbar. Es ist wirklich eine Ausnahmesituation. Danke.

2. Vektoralgebra

Meine Ideen:
bin noch dabei überhaupt die Aufgabe zu verstehen...

22.12.2016, 14:07

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

a) Addiere alle 3 Vektoren
b) Wende einfach die Definition des Skalarproduktes an (komponentenweise multiplizieren und dann addieren)
c) Bei linearer Abhängigkeit dürfen nicht alle r,s Null sein

mY+

@Kapa
Dein völlig unleserliches Konvolut wurde als ***SPAM*** entfernt!
Ausserdem gibt es trotz Dringlichkeit keine Komplettlösungen.

22.12.2016, 15:19

Jep

Auf diesen Beitrag antworten »

so ist richtig?

22.12.2016, 15:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektoralgebra: Vektoren untersuchen
Hm. Ich halte es für nicht zielführend, die lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren auf diese Weise zu untersuchen. Beispiel:

Die 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, dennoch ist das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht lösbar. smile

Zitat:

Original von Soka
Es ist wirklich eine Ausnahmesituation.

Da würden wir gern mal mehr erfahren.

22.12.2016, 16:11

Soka

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe den Termin verpeilt, ich dachte ich hätte noch morgen den ganzen Tag. Daher muss ich mich von null einlesen und in zwei Stunden Lösung haben.

22.12.2016, 16:24

Jep

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektoralgebra: Vektoren untersuchen
Das zweite Bild ist aber richtig?

22.12.2016, 17:40

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du damit? Es gibt nirgends einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ , wohl aber $\begin{eqnarray*} \vec v_3 \end{eqnarray*}$ . Und dessen Betrag ist 1, allerdings sehe ich nicht, wozu du das benötigen solltest.

Ausserdem hast du etwas durcheinander gebracht, woher kommen plötzlich die veränderten ersten beiden Vektoren?
Die sollten doch lt. Angabe (1, 1, 2)_T und (5; -1; 3)_T sein (?)
--------------

Das Beispiel von klarsoweit birgt jene Gefahr, dass bereits die ersten beiden Vektoren linear abhängig sind, und daher keine Basis einer Linearkombination für den 3. Vektor bilden.
Stellen wir ein wenig um, so sehen wir die lin. Abhängigkeit sofort:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die linken beiden Vektoren sind lin. unabh., alle 3 lin. abh. und das System hat denn auch eine Lösung.
--------------

In deinem Beispiel kann jedoch auf einen Blick ausgeschlossen werden, dass die beiden bei r und s stehenden Vektoren (v1, v2) linear abhängig sind.
Daher sind die Lösungen deines Gleichungssystems schlüssig und der 3. Vektor lässt sich nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen.

Prinzipiell wird zur Feststellung der lin. Un-/Abhängigkeit etwas anders vorgegangen, denn man erstellt eine Relation (Linearkombination) aller drei Vektoren, welche den Nullvektor ergeben soll:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot t_1 + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot t_2 + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot t_3 = \vec 0<br /> \end{eqnarray*}$

Dabei kommt

$\begin{eqnarray*} t_1 + 5t_2 \quad \quad \ = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1 - t_2 \quad \quad \quad = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t_1 + 3t_2 + t_3 = 0 \end{eqnarray*}$
------------------------------

Löse dieses System.

Wenn alle $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ gleich Null sind, spricht man von einer trivialen Relation und die Vektoren sind lin. unabh.
Wenn nicht alle $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ Null sind, liegt lin. Abhängigkeit vor (nichttriviale Relation).
Diesen Test bestehen nun auch die 3 von klarsoweit erstellten (lin. abh.) Vektoren Big Laugh

Versuche es doch mal!

Alternativ kann die aus den Komponenten der Vektoren bestimmten 3 x 3 Determinante untersucht werden. Ist sie Null, so liegt lin. Abhängigkeit vor; lin. Unabhängigkeit sonst.
Übrigens: Die Determinantenmethode ist effizient, schnell und elegant. Sie funktioniert auch zur Feststellung der Abhängigkeit von Gleichungssystemen.

mY+

23.12.2016, 08:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Was meinst du damit? Es gibt nirgends einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ , wohl aber $\begin{eqnarray*} \vec v_3 \end{eqnarray*}$ . Und dessen Betrag ist 1, allerdings sehe ich nicht, wozu du das benötigen solltest.

Ist auch irgendwie blöd: einmal ist Soka unterwegs und einmal Jep. geschockt

23.12.2016, 14:56

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist tatsächlich ein und derselbe.
-----------

Ermahnung:
Die Verwendung mehrerer Namen von ein und derselben Person ist nicht nur unhöflich, sondern auch unstatthaft!

Soka oder Jep, bleibe bei EINEM Namen, falls du noch an Hilfe interessiert bist! (Ist allerdings ohnehin zu bezweifeln ..)

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Vektoralgebra: Vektoren untersuchen

Verwandte Themen