Orthogonalprojektionen und ihr Bild

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Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektionen und ihr Bild
Hallo,
ich habe folgendes Problem und komme nicht voran:

Es sei ein Hilbertraum und abgeschlossene Unterräume. Die zugehörigen Orthogonalprojektionen auf A bzw. B bezeichne ich mit bzw . Die Bilder von und sind offenbar abgeschlossen (entsprechen ja gerade A bzw B). Die Frage ist jetzt hat die Verknüpfung, also die Abbildung



immernoch ein abgeschlossenes Bild?

Gruß, Nobundo
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage lässt sich mit folgendem allgemeinerem Resultat beantworten.
Ist ein normierter Raum und eine stetige Projektion, so bildet abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab.

Sei und eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von . Sei eine Folge in mit Grenzwert . Wegen und weil abgeschlossen ist, gilt . Andererseits gibt es eine Folge in mit . Es folgt , wobei letztere Menge abgeschlossen ist. Also gilt . Wegen folgt , was die Abgeschlossenheit von zeigt.
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für die Antwort.
Mir ist allerdings nocht nicht ganz klar ob ich deinen Beweis verstehe. Du schreibst die Folge als

wobei, , woher aber weißt du das die Summanden einzeln konvergieren, sprich wieso konvergiert die Folge ?

edit: mir fällt gerade auf das i.A. nicht konvergent ist, auch wenn konvergiert, vielleicht hab ich das Argument falsch verstanden. Ich habe Probleme beim Verständnis von folgendem

Was heißt ? Welche Menge ist diese "Summe"?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo brauche ich, dass die Summanden einzeln konvergieren?
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry nicht gesehen das du nochmal geantwortet hast, habe nochmal editiert oben.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

.

Edit: Du hast Recht, warum diese Summe abgeschlossen ist, ist nicht so klar. Da muss ich nochmal drüber nachdenken, ob das stimmt.
 
 
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke dir, wie folgert man nun ?

edit: Ich glaube das es so leider nicht gehen wird, da man sonst analog beweisen könnte das jeder UNterraum eines Banachraum abgeschlossen ist, schließlich kann man einen Unterraum V immer schreiben als V+ker(Id)
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz so ist es nicht. Schließlich ist nach Voraussetzung abgeschlossen. Es kann trotzdem gut sein, dass die Aussage falsch ist. Der Beweis lässt sich auf jeden Fall nicht retten. Ich melde mich morgen nochmal mit neuen Ideen.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Name ist Programm, die Aussage im Themenstart ist wirklich nicht richtig, das hätte ich nicht gedacht.

Betrachte und sei der Teilraum der für die für gerade .
Sei der Teilraum mit für alle .

Es ist
und .

und ,
das kann man nachrechnen, zum Beispiel indem man die Standardbasis einsetzt und die Bedingung dort nachrechnet.

Es folgt und .

Man sieht, dass alle abbrechenden Folgen im Bild liegen, deren gerade Folgenglieder sämtlich verschwinden. Wäre das Bild abgeschlossen, müsste es daher enthalten, dem ist aber nicht so, denn in liegt die Folge, die an ungeraden den Wert annimmt. Im Bild hingegen hat jede Folge mindestens das Abklingverhalten von .
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