Matrixhomomorphismus vom R^5 zum R^4

Neue Frage »

22.12.2016, 15:52	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixhomomorphismus vom R^5 zum R^4 Meine Frage: Guten Tag Ich sitze gerade vor einer Aufgabe für Lineare Algebra und komme einfach nicht weiter Kann mir jemand helfen Die Aufgabe: Sei f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Hom(R5,R4) durch Linksmultiplikation mit der Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 5\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 2 & 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Man bestimme Ker(f) und Im(f) explizit, indem man Basen für diese Räume angebe, und man veriziere die Formel des Rangsatzes Meine Ideen: Leider habe ich wirklich keine Ahnung. Ich weiss, dass Homomorphismen lineare Abblidungen sind, der Kern die Lösungsmenge A*x=0 (also die Nullmatrix) und dass das Bild die "getroffenen" Vektoren sind, die die Spalten einer Matrix bilden. Leider bin ich mit der Aufgabe völlig überfragt, obwohl ich die Begriffe kenne. Ich hoffe jemand kann mir schnell helfen
22.12.2016, 17:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixhomomorphismus vom R^5 zum R^4 Vielleicht hilft es Dir schon weiter, wenn ich deine Aussagen ein wenig korrigiere: Der Kern von f ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems $\begin{align} A\vec{x}=\vec{0} \end{align}$ und das Bild der von den Spalten erzeugte Vektorraum. Du musst also eigentlich nur den Gauß-Algorithmus beherrschen, um die Aufgabe zu lösen. Einmal auf die Zeilen und einmal auf die Spalten angewendet.
23.12.2016, 08:04	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal danke vielmal für die Antwort und die Korrektur Liege ich mit meiner Vermutung richtig, dass die Matrix von links mit einem Vektor der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus R^5 multipliziert wird, so dass nur noch vier linear unabhängige Spalten in der Endmatrix B entstehen? Und vielen, vielen Dank für den Vorschlag mit dem Gauss Verfahren, da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch Wir haben aber den Gauss Algorithmus immer nur auf Zeilen angewandt, geht das mit Spalten analog, oder sollte ich besser die Transponierte Matrix verwenden?
23.12.2016, 17:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix wird von rechts mit dem Vektor multipliziert. Sonst würde weder das Format, noch die Zielmenge stimmen. Anders ausgedrückt, es geht um die Abbildung $\begin{eqnarray} f(v)=Av \end{eqnarray}$ . Zum Thema Gauß: Nimm besser die transponierte Matrix, oder nutze die Gleichheit von Zeilen- und Spaltenrang, um die Dimension des Bildraums herauszufinden.
24.12.2016, 19:13	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal vielen Dank (erneut) für die Antwort Leider muss ich dann noch einmal nachfragen, ob die Form meines Vektors stimmt. Die Basen, die in der Aufgabe verlangt sind, verstehe ich auch nicht ganz. Die Matrix in der Aufgabe ist doch, falls die Spalten linear unabhängig sind, eine Basis des R^5, oder? Muss ich dann noch für die Endmatrix, also die Matrix des R^4, eine Basis finden. Oder reicht da die Standard Basis des R^4? Aber nun erst einmal schöne Feiertage und vielen Dank für die Hilfe
28.12.2016, 13:06	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe noch einmal gerechnet und habe nach der Zeilenstufen-Form (die leider mit Brüchen etwas hässlich aussieht ) eine Matrix vom Rang 3 erhalten. Das heisst mein Bild hat die Dimension 3 und der Kern, nach der Dimensionsformel, eine Dimension von 2 (wegen Dimension R^5=5 - Dimension Bild = 2). Die Basis des Bildes sollte so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (In meinen Notizen habe ich mir aufgeschrieben, dass man so viele wie dem Rang entsprechen, Zeilen aus der Urprungsmatrix wählen darf, diese dann transponiert und voilà) Die Basis des Kerns löst ja das Gleichungssystem, dass durch Ax=0 aufgestellt wird. Meine Basis sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (-7/3) & (5/3) & (7/3) & 1 & 0 \\ 0 & (-5/2) & (-1/2) & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ^T \end{eqnarray*}$ (Hab mich da leider mit Latex vertan ) Ich wäre froh über eine kleine Rückmeldung und ob ich die Lösung überhaupt stimmt. Danke
Anzeige

31.12.2016, 08:58	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, muss das Thema pushen. Ich bräuchte nur ganz schnell eine Rückmeldung
31.12.2016, 14:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Tatsache, dass Basis und kern keine Matrizen, sondern Mengen sind, stimmt das Ergebnis. Du solltest Dich allerdings nicht darauf verlassen, dass Du "irgendwelche" Zeilen aus der Ursprungsmatrix nehmen darfst, sofern ihre Anzahl dem Rang entspricht. Die Zeilen müssen schon linear unabhängig sein, um eine Basis des Bildes zu sein.
31.12.2016, 15:48	Student 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals Das mit der Menge und der linearen Abhängigkeit stimmt natürlich Da werde ich meine Notizen noch einmal ergänzen müssen. Puh, da bin ich aber erleichtert, dass das Ergebnis stimmt, damit wären nämlich alle Kerngebiete der Linearen Algebra abgehakt und ich kann (etwas entspannter) ins neue Jahr rutschen. Noch einmal vielen Dank für die Unterstützung und einen guten Rutsch ins neue Jahr

Neue Frage »

Antworten »

Matrixhomomorphismus vom R^5 zum R^4

Verwandte Themen