Reihe nach ihrer Konvergenz Prüfen

22.12.2016, 19:41

Klaus23

Reihe nach ihrer Konvergenz Prüfen

Meine Frage:
Hallo Lieben ich will die Reihe nach ihrer Konvergenz Überprüfen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{3-sin(x)}{n-ln(x)} \end{eqnarray*}$

was würdet ihr mir raten für die Untersuchung ?

Meine Ideen:
Also mir würde spontan einfallen Wurzel oder Qoutintenkriterum aber weiß nicht richtig

22.12.2016, 19:43

klaus23

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RE: Reihe nach ihrer Konvergenz Prüfen
anstatt sin(x) und ln(x) meine ich sin(n) und ln(n)

22.12.2016, 19:50

10001000Nick1

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Es geht also um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{3-\sin(n)}{n-\ln(n)} \end{eqnarray*}$ .

Diese Reihe kannst du nach unten gegen die harmonische Reihe abschätzen, die bekanntlich divergiert.

22.12.2016, 19:56

Klaus23

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Also meinst du eine divergente minorante zu finden für die reihe.
Aber das Problem ist mein Prof hat nur Majorante gemacht und nicht Minorante wie könnte ich die Aufgabe anders lösen ? verwirrt

22.12.2016, 20:03

10001000Nick1

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Eigentlich folgt das Minorantenkriterium direkt aus dem Majorantenkriterium (durch Widerspruch):

Es sei $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ divergent.
Wäre nun $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ konvergent, dann wäre $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ , woraus die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ folgen würde.

Ihr dürft also sicher auch das Minorantenkriterium verwenden. smile

22.12.2016, 20:11

klaus23

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Aber wenn ich das trotzdem so machen müsste würde ich es so zeigen :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{3-sin(x)}{n-ln(x)} \geq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{3-(-1)}{n-ln} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung gilt da der kleinste wert der sinusfunktionh die -1 ist.

Dann würde ich ln Nach unten Abschätzen durch 0 wegen der Monotonie des ln Funktion also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{3-(-1)}{n-ln} \geq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$

also wäre

$\begin{eqnarray*} 4* \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Eine Divergente Minorante zur gegebenen Reihe oder ?

22.12.2016, 20:14

klaus23

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Nein sorry das mit Sinus war keine Logische Abschätzung.

Ich müsste den Term mit dem Größten Wert von Sinus Abschätzen also die 1

Somit würde gelten das $\begin{eqnarray*} 2* \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

eine Divergente Minorante zur Reihe ist stimmt das ?

22.12.2016, 20:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus23
Diese Abschätzung gilt da der kleinste wert der sinusfunktionh die -1 ist.

Sie funktioniert nicht, denn du musst den Zähler nach unten abschätzen. Passend wäre also dort

$\begin{align*} 3-\sin(n) \geq 3-1 =2 \end{align*}$ .

Im Nenner hingegen brauchen wir eine Abschätzung nach oben, da ist $\begin{align*} n-\ln(n)\leq n \end{align*}$ Ok.

22.12.2016, 20:27

klaus23

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Ja schau dir mein neuen Beitrag an.

Eine frage könnte die Funktion ln(n) nicht negativ werden ?

22.12.2016, 20:29

HAL 9000

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Nicht in deinem Summationsbereich $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ . Augenzwinkern