Stetigkeit der Potenzfunktion

22.12.2016, 19:06

Alexiss

Stetigkeit der Potenzfunktion

Meine Frage:
Hey, kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier ansetze? Ich soll folgendes unter Zuhilfenahme der allgemeinen Bernoulli-Ungleichungen zeigen.

t*c^(t-1)*|x-y|>=|x^t-y^t|

Meine Ideen:
Meine Ansätze führen leider immer in eine Sackgasse und ich komm nicht weiter.. nur ein kleiner Tipp für einen ersten Schritt wäre super von euch!!

22.12.2016, 19:08

Alexiss

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Ach ja es gilt: t>=1 x,y aus (0,c]

22.12.2016, 19:34

HAL 9000

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Allgemeine Bernoulli-Ungleichung sagt mir jetzt nichts, aber die Struktur der Ungleichung schreit geradezu nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung - mit dem ist es ein Einzeiler. Augenzwinkern

22.12.2016, 19:40

Alexiss

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Hm okey.. aber ich soll wirklich nur die Bernoulli-Ungleichung verwenden. Außerdem sind wir beim Thema Differentialrechnung noch nicht. Hast du trotzdem eine Idee? Komm einfach nicht drauf..

23.12.2016, 12:08

HAL 9000

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Vielleicht nennst du erstmal diese mir unbekannte allgemeine Bernoulli-Ungleichung.

23.12.2016, 12:23

10001000Nick1

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Vielleicht ist damit die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^n a_i\leq \prod_{i=1}^n (1+a_i) \end{eqnarray*}$ gemeint, wobei $\begin{eqnarray*} a_i\geq -1 \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sind alle $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ oder alle $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus würde zumindest die bekanntere Bernoulli-Ungleichung $\begin{eqnarray*} 1+na\leq (1+a)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\geq -1 \end{eqnarray*}$ folgen.

23.12.2016, 16:12

Alexiss

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Hey tschuldigung, dass hätte ich vielleicht besser gleich schreiben sollen.

Mit der allgemeinen Bernoulli-Ungleichung habe ich die ganz normals gemeint, nur, dass die Exponenten auch reell sein dürfen..

23.12.2016, 16:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alexiss
nur, dass die Exponenten auch reell sein dürfen..

Aha, wie z.B. $\begin{align*} t=\frac{1}{2} \end{align*}$ ? Augenzwinkern

23.12.2016, 16:29

Alexiss

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Ach Mathematiker nehmen es immer so genau Big Laugh

Der Aufgabe nach gilt hier natürlich t>=1..

23.12.2016, 16:36

HAL 9000

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Ok, es geht also um $\begin{align*} (1+z)^t \geq 1+tz \end{align*}$ für reelle $\begin{align*} z\geq -1 \end{align*}$ und $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ .

Nun zu deiner Ungleichung: Sei o.B.d.A. $\begin{align*} 0<y\leq x\leq c \end{align*}$ (andernfalls Tausch $\begin{align*} x\leftrightarrow y \end{align*}$ ), dann wende Bernoulli auf $\begin{align*} z=\frac{y}{x}-1 \end{align*}$ an. Das dürfte dann mehr als die halbe Miete sein. Augenzwinkern

23.12.2016, 16:56

Alexiss

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Ja genau!

Ok super danke. Ich probiere es nun mal smile

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