Konvergenzradius einer Potenzreihe

22.12.2016, 22:29

ln2

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Guten Abend,

Ich habe den Konvergenzradius an folgender Potenzreihe zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot (x-5)^{2n} \end{eqnarray*}$
Also ich hab beide Kriterien also Quotienten und Wurzel probiert komme bei beiden auf dasselbe Problem. Ich verliere mein n verwirrt

Zuerst hab ich die Potenz herausgezogen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{n-1}}{3^n} = (\frac{e^{-1}}{3})^n \end{eqnarray*}$
WK:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{e^{-1}}{3})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{-1}}{3} \overset{?}{=} \frac{1}{3}\cdot e \end{eqnarray*}$
Da weiß ich nicht mehr weiter.

Falls dies dennoch stimmen sollte, reicht es dann wenn ich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ folgend Begründe:
Falls $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R}_0^+ : \rho = + \infty \end{eqnarray*}$

lg,
ln2

22.12.2016, 22:52

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

So geht es nicht. Diese Formel für den Konvergenzradius wäre verwendbar, wenn dort $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot (x-5)^n \end{eqnarray*}$ stünde. Dies ist nicht so.

Wenn es stimmen würde, wäre dein Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac 13 e} = \frac3e \end{eqnarray*}$ , ich habe keine Ahnung, wie du auf $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kommst.

Richtig kannst du es so machen: Wende auf $\begin{eqnarray*} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot (x-5)^{2n} \end{eqnarray*}$ das ganz normale Quotientenkriterium an und schau dir an, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da im Grenzwert was herauskommt, was kleiner als 1 ist.

23.12.2016, 08:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ln2
Zuerst hab ich die Potenz herausgezogen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{n-1}}{3^n} = (\frac{e^{-1}}{3})^n \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich grober Unfug. Schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{n-1}}{3^n} = \frac{e^n}{e \cdot 3^n} \end{eqnarray*}$ und dann funktioniert das auch mit der n-ten Wurzel bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard.

Zitat:

Original von Clearly_wrong
So geht es nicht. Diese Formel für den Konvergenzradius wäre verwendbar, wenn dort $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot (x-5)^n \end{eqnarray*}$ stünde. Dies ist nicht so.

Nun ja, mit einer kleinen Umformung bzw. Substitution von z = (x-5)² funktioniert das durchaus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot (x-5)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n-1}}{3^n} \cdot z^n \end{eqnarray*}$

Wenn man dann den Konvergenzradius für z hat, kann man leicht den Konvergenzradius für x bestimmen (das ist die Wurzel davon). smile

23.12.2016, 13:44

ln2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{n-1}}{3^n} = \frac{e^n}{e \cdot 3^n} \end{eqnarray*}$ und dann funktioniert das auch mit der n-ten Wurzel bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard.

Hallo,
danke für die Antworten. Ja die Materie ist für mich neu, deshalb Entschuldige ich mich für meine "Anfängerfehler".
$\begin{eqnarray*} \frac{e^n}{e \cdot 3^n} \end{eqnarray*}$
Wenn das äquivalent ist zu den Angaben $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , darf ich dann die Potenz herausnehmen?
Dann müsste dort stehen
$\begin{eqnarray*} \frac{e^n}{e \cdot 3^n}= \left( \frac{e}{\sqrt{e} \cdot 3} \right) ^n \end{eqnarray*}$

23.12.2016, 14:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit den Potenzregeln stehst du wirklich auf Kriegsfuß.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{e^n}{e \cdot 3^n} = \left( \frac{e}{\sqrt[n]{e} \cdot 3} \right) ^n \end{eqnarray*}$

Im Zweifelsfall auch mal rückwärts rechnen. Aber dazu müßte man auch wieder die Regeln beherrschen. geschockt

23.12.2016, 15:21

ln2

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war keine Absicht Hammer

Auf meinem Zettel hatte ich n-te Wurzel stehen. Habs in LaTeX vergessen dazugeben Augenzwinkern

Nach dem Umformen komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} = \frac{e}{3\cdot \sqrt[n]{e}} = a \end{eqnarray*}$ (*)
gilt jetzt die Behauptung ? :
$\begin{eqnarray*} a < 1 \;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut.
Ich habe in Octave mal den GW (*) für große n durchlaufen lassen. $\begin{eqnarray*} 0.90609 \dots < 1 \end{eqnarray*}$
Bin ich hier am richtigen Weg verwirrt

24.12.2016, 12:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe

Zitat:

Original von ln2
Da weiß ich nicht mehr weiter.

Vielleicht solltest du dein Wissen etwas aufpolieren und dir das:
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz...onvergenzradius
mal näher ansehen. smile

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Verwandte Themen