Kontrolle Beweis: Rang Matrix

24.12.2016, 10:21	Muic	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle Beweis: Rang Matrix Meine Frage: Hi Leute, könnt ihr mal bitte nachschauen, ob ich den Beweis zu folgender Aufgabe so richtig gemacht habe? Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{mxn} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} rk(A^{T}A) = rk(A) \end{eqnarray}$ (Zuvor haben wir schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} ker(A^{T}A) = ker(A) \end{eqnarray}$ ist) Meine Ideen: So, nun zu meinem Beweis: Es gilt: $\begin{eqnarray} dim(A^{T}A) = dim(A) \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{mxn} und A^{T}A \in \mathbb R ^{nxn} \end{eqnarray}$ Laut Dimensionsformel gilt: $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R ^{n}) = dim(ker(A)) + rk(A) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ beide die Dimension $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R ^{n}) \end{eqnarray}$ haben und bei beiden die Dimension des Kerns gleich ist, muss also auch noch der Rang der beiden gleich sein. Ist das so richtig? Danke für eure Hilfe!
24.12.2016, 14:35	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit $\begin{align} \dim(A^TA) \end{align}$ bzw. $\begin{align} \dim(A) \end{align}$ ?
25.12.2016, 10:14	muic	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, da meinte ich das beide $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R ^{n}) \end{eqnarray}$ sind..und weil beide dann auch die gleiche Dimension des Kerns haben, muss auch bei beiden die Dimension des Rangs gleich sein...
25.12.2016, 11:17	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du missverstehst, die Frage war, dieser Ausdruck darstellen soll. Ich verstehe deine Argumentation nicht aufgrund dieses Ausdrucks. Man könnte meinen, dass damit die Dimension des Bildes gemeint ist, das kann es aber nicht sein, weil du diese ja korrekterwise mit $\begin{align} \operatorname{rk} \end{align}$ bezeichnest.

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