Beweis Gleichgewicht DGL |
| 26.12.2016, 12:26 | Halepas4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis Gleichgewicht DGL Hallo! Kann man das so beweisen? " Sei x eine auf [0,oo) definierte Lösung einer autonomen DGL x' = f(x) mit Lipschitz-stetigem Vektorfeld f. Es gelte lim x(t) = a Man zeige dass dann a ein Gleichgewicht ist, also dass x(t; 0, a) = a für alle t gilt. (in unserer Notation ist das dasjenige x mit AW x(0) = a) " Meine Ideen: Es gibt ja folgende Charakterisierung von Gleichgewichten: Ist f(a,t) = 0 für alle t, so ist a ein Gleichgewicht. Wegen autonom ist f nur von x abhängig also f(a,t) = f(a) für alle t. Dann: f(a) = lim f(x(t)) = 0 Da x(t) eine Lösung ist, ist nämlich ja f(x(t)) = x'(t). Weil x(t) konvergiert geht die Ableitung gegen 0. Der Beweis in unserer Übung war deutlich umfangreicher. Was geht hier schief? |
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| 29.12.2016, 15:46 | Halepas4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis Gleichgewicht DGL Wäre super zu wissen ob das so geht oder nicht 
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| 29.12.2016, 16:10 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Gleichgewicht DGL
Ich denke, das ist das Problem. Nimm z.B. eine Funktion, deren Graph so aussieht: [attach]43436[/attach] Die Höhe der "Zacken" wird immer kleiner, sodass die Funktion gegen 0 konvergiert. Weil aber die Zacken immer schmaler werden, wird der Anstieg an den Zacken immer größer. Die Ableitung konvergiert also nicht gegen 0. (Mein Beispiel ist natürlich nicht überall differenzierbar, aber das Prinzip sollte klar sein. Man kann die Funktion ja noch an den Übergangsstellen glätten.) |
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| 30.12.2016, 22:40 | Halepas4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis Gleichgewicht DGL Danke für die Antwort 
Liefert die Lipschitz-Stetigkeit aber nicht gleichmäßige Konvergenz und somit die Vertauschung von Ableitung und Limes? Hab die Konvergenzsätze nicht mehr genau im Kopf... |
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| 01.01.2017, 13:30 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erst einmal frohes neues Jahr. 
Was konvergiert hier gleichmäßig? Den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz kenne ich nur für Funktionenfolgen. Eine solche sehe ich hier aber nicht. |
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| 01.01.2017, 14:42 | Halepas4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dir auch
Ja, ich hab mir die Sätze zu Funktionenfolgen angeschaut, und das macht hier keinen Sinn. Trotzdem noch ein Versuch den Beweis zu retten: f ist L-stetig, für zwei Lösungen x(t) und x(t-p) (p < 0 beliebig, bei autonomen DGLs ist ja jede Lösung zu anderen AWP immer nur eine Verschiebung im zeitlichen Argument) gilt dann: || f(x(t)) - f(x(t-p)) || = || x'(t) - x'(t-p)|| < L * || x(t) - x(t-p) || --> 0 weil x(t) und somit auch x(t-p) konvergiert. Weil p beliebig war geht konvergiert also x'(t) für hinreichend große t gegen eine Zahl, die muss nun 0 sein, weil ja x(t) selbst konvergiert. |
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