Dynkinsystem - Beweis

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friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »
Dynkinsystem - Beweis
Aufgabe:
Sei ein Ereignisraum, wobei ein schnittstabiles Mengensystem auf sei.
Seien und Wahrscheinlichkeitsmaße, sodass

soll die von M erzeugte Sigma-Algebra sein.

zu zeigen: ist ein Dynkinsystem

Mein Lösungsansatz:
1) , zumal eine Sigmaalgebra ist.
Und , da Wahrscheinlichkeitsmaße sind.



2) Seien beliebig gegeben, aber disjunkt.
Dann gilt

Und

(wobei hier jeweils die disjunkten Vereinigungen gemeint sind)

3) Nun ist noch zu zeigen: Hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich das zeigen? Hat jemand einen Hinweis?
Falls ja: Danke im Voraus! Freude
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: .
 
 
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Ah. Danke! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht Hammer .

Der Vollständigkeit halber:



Gott
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine ähnliche Aufgabe:
Sei ein Ereignisraum, wobei ein schnittstabiles Mengensystem auf sei.
Seien und Wahrscheinlichkeitsmaße, sodass

soll die von erzeugte Sigma-Algebra sein.

zu zeigen: ist ein Dynkinsystem

wobei das von erzeugte Dynkinsystem sein soll (wir dürfen annehmen, dass jedes Mengensystem G ein eindeutiges Dynkin-System d(G) erzeugt, welches G enthält, wobei jedes andere Dynkinsystem auf dem selben Omega, welches G enthält, auch d(G) enthält).

Lösungsansatz:
Auch hier müssen wieder die drei Eigenschaften eines Dynkinsystems nachgewiesen werden. Schon beim ersten scheitere ich kläglich.
zeige:
Beweis: Das wäre ja der Fall, wenn für ein beliebiges gilt, dass
Falls Omega in läge, könnte man das leicht nachweisen. Das ist aber nicht unbedingt der Fall. Ich weiß, dass M auch in liegt. Nützt mir das was? Ich stehe mal wieder auf dem Schlauch und bin dankbar für jede Hilfe.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: hat eine einfachere Darstellung weil . Finde diese Darstellung und du siehst es. In diesem Fall stehst du sogar schon im Wald drin und siehst ihn gerade nicht.
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In diesem Fall stehst du sogar schon im Wald drin und siehst ihn gerade nicht.
Big Laugh Das ist allerdings wahr. Finger1 Big Laugh

Auf jeden Fall nochmals danke für den Tipp!

Sei beliebig gegeben.
Dann:

(mit P meine ich die Potenzmenge)
Demnach:

denn

zumal das von ereugte Dynkin-System ist, also nach Voraussetzung gilt:
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Bin noch bei derselben Aufgabe.

Dass die Vereinigung disjunkter Folgen wieder in ist, war leicht zu zeigen. Dafür braucht man im Grunde nur das Distributivgesetz der Mengenlehre.

Nun bin ich dabei zu beweisen, dass:

bzw.


Was ich bereits habe:



Kann man jetzt einfach sagen, dass dies in liegen muss, da also ?
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