Potenzreihe einer rekursiv definierten Folge

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe einer rekursiv definierten Folge
Hallo,

das durch folgende Rechnung erhaltene Ergebnis stimmt, doch taugt der Weg dahin auch wirklich was? Das ganze ginge natürlich einfacher, wie ich später bemerkte. ^^

Sei und für

a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe


b) Was ist das Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzgebietes?

Lösung:
a)

n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:

Wir finden die äquivalente Folge:




Somit konvergiert die anfängliche Reihe für

b)
Wir prüfen, ob eine Nullfolge ist.

Also: (1)

Wir wissen, dass die n-te Wurzel monoton wächst, und dass derren Grenzwert existiert. Somit existiert auch der Grenzwert der Multiplikation mehrerer n-ter Wurzeln.

Da aber gilt, sind alle Grenzwerte grösser als eins. Somit kann (1) keine Nullfolge sein. Somit konvergiert die Reihe am Rand nicht.



Frage 1: Mich stört hier erstmal, dass ich eine unbewisene explizite Form nutzte. Hätte ich das per Induktion erst beweisen sollen?

Frage 2: Die Argumentation in b) finde ich zwar so eigentlich passend, aber irgendwie evtl. etwas unmathematisch?

Frage 3: Was gibts hier sonst noch zu bemängeln?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ja, das hättest du machen müssen, wenn du die explizite Form verwenden willst. Ich weiß nicht, ob dir inzwischen aufgefallen ist, dass die explizite Form ein Umweg ist, deine Bemerkung ganz oben deutet was in der Art an.

2) Obacht, du scheinst Grenzwertsätze zu benutzen, die hier nicht anwendbar sind, da die Anzahl der Faktoren nicht beschränkt ist. Argumentiere stattdessen, dass die Folge echt positiv und monoton wachsend ist, dann kann sie nicht gegen Null konvergieren, auch dafür brauchst du die explizite Form nicht.

3) Dein Weg, um den Grenzwert von zu bestimmen ist ne ziemliche Kanone. Brauchst du das hier wirklich? Ist dir der Grenzwert nicht aus den Grundlagenvorlesungen bereits bekannt? Es versteht sich von selbst, dass das keine wirkliche Kritik ist, nur eine Anmerkung.
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest noch mal gründlich über das Konvergenzverhalten von



nachdenken um festzustellen, dass keine Nullfolge und zudem nicht einmal konvergent ist.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matt Eagle
Du solltest noch mal gründlich über das Konvergenzverhalten von



nachdenken um festzustellen, dass keine Nullfolge und zudem nicht einmal konvergent ist.


Das steht doch in meinem Eingangspost?

Clearly_wrong: Mir ist vieles aus der VL bekannt, aber dich geh lieber auf Nummer sicher und zeige mehr wie nötig. Es dauert ein paar Sekunden das hinzuschreiben, dafür ist man auf der sicheren Seite. Ich hab das sogar abgekürzt, da eig. noch n l'hospital fehlt. :P Es schadet halt nicht, ne.

"Obacht, du scheinst Grenzwertsätze zu benutzen, die hier nicht anwendbar sind, da die Anzahl der Faktoren nicht beschränkt ist."
D.h. aber meine Argumentation zieht eig. nicht wirklich, was... hmm

Danke für den Hinweis, das muss ich mir nochmal anschauen. Ich glaube, das habe ich mir nie wirklich überlegt - [ich habe aber auch noch nie die Konvergenz so umständlich wie hier bestummen :P]

merci
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@balance

Du hast mitunter eine leichtfertige Ausdrucksweise, worunter das vielleicht wirklich richtig gemeinte massiv leidet - Beispiel:

Zitat:
Original von balance
Also: (1)

[...]

Da aber gilt, sind alle Grenzwerte grösser als eins. Somit kann (1) keine Nullfolge sein.

Statt Grenzwerte sollte da besser Faktoren stehen. Und außerdem meinst du dann wohl, dass (statt (1)) keine Nullfolge sein kann, weil tatsächlich ja sogar für alle gilt.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...

Die Idee war halt: Wenn kein Term des Produkts jemals kleiner als eins wird, so kann es niemals eine Nullfolge sein, da ja kein Term den Wert effektiv reduziert.

Ich denke, du hast recht, dass ich hätte "Terme" und nicht "Grenzwerte" schreiben sollen. Die leichtfertigkeit meiner Ausdrucksweise [zumindest hier] kommt wohl davon, dass ich eigentlich sogut wie keine Erfahrung mit dem Grenzwert eines Produktes habe. Sprich: Unsicherheit.

Aber ja, der Gedanke war, wie du geschrieben hast: Wenn kein Term des Produktes kleiner als 1 ist, hat das Produkt auch keinen reduzierenden Term, so dass man folgern kann, dass es keine Nullfolge sein kann.

Alles etwas unschön geschrieben, ja. :/

Danke euch
 
 
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