Wird die Regel von L'Hospital hier richtig angewendet?

27.12.2016, 15:38

Schniti

Wird die Regel von L'Hospital hier richtig angewendet?

Meine Frage:
Gegeben ist eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1-3^{n}}{5+2\cdot 3^{n}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{b_{n}}{c_{n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{n} = 1-3^{n} \end{eqnarray*}$ wobei bn gegen minus unendlich konvergiert
$\begin{eqnarray*} c_{n}=5+2\cdot 3^{n} \end{eqnarray*}$ wobei cn gegen unendlich konvergiert
die regel von l'hospital angewendet: $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{-b_{n}' }{c_{n}' } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -b_{n}'=n\cdot 3^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{n}'=n\cdot 6^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{-b_{n}' }{c_{n}' }=\frac{n\cdot 3^{n-1}}{n\cdot 6^{n-1}} \end{eqnarray*}$
Kann man daraus folgern, dass die Folge an gegen -1/2 konvergiert (negativ, weil ich mit -bn gerechnet habe) ? Oder muss ich nochmal ableiten?

27.12.2016, 15:51

Mulder

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RE: Wird die Regel von L'Hospital hier richtig angewendet?
Du kannst ja ruhig mit L'Hospital arbeiten, aber vorher solltest du nochmal kurz nachschauen, wie man Exponentialfunktionen ableitet.

27.12.2016, 15:58

005

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RE: Wird die Regel von L'Hospital hier richtig angewendet?
Du muesstest auch noch irgendwie erklaeren, wie Du nach dem diskreten Folgenindex $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ableiten willst.

27.12.2016, 19:42

mYthos

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Muss man ja nicht mit L'Hospital!
Kürze doch einfach den Bruch durch $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ , mit freiem Auge siehst dann den Grenzwert $\begin{eqnarray*} -\frac 1 2 \end{eqnarray*}$
--------
Die Ableitung nach n bringt allerdings ebenso wenig Probleme, richtig rechnen muss man halt. Wieder kürzt man dann durch $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ .

mY+

27.12.2016, 20:54

005

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Zitat:

Original von mYthos
Die Ableitung nach n bringt allerdings ebenso wenig Probleme ...

Was die Ableitung einer Folge nach ihrem Index $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein soll, waere schon ein paar Worte wert. Ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} a_n':=\lim_{h\to0}\frac{a_{n+h}-a_n}{h}=\ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Da $\begin{eqnarray*} n+h\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\ne0 \end{eqnarray*}$ sein muss, wird's mit $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ etwas schwierig.

27.12.2016, 21:58

mYthos

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Man muss die Ableitung für natürliche Exponenten nicht neu erfinden.
Im Gegenteil, da die Ableitungsfunktion zumindest für reelle Exponenten schon definiert ist, kann die Menge für n auch aus der Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ stammen. verwirrt

mY+

27.12.2016, 22:53

005

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Folgen sind Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\to\mathbb{R},\ n\mapsto a_n \end{eqnarray*}$ . In $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt es keine Haeufungspunkte. Deshalb gibt es bei Folgen keine Grenzwerte der Art $\begin{eqnarray*} n\to n_0 \end{eqnarray*}$ , sondern nur die Sorte $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Insbesondere kann man von Folgen keine Ableitungen bilden. Der Regel von L'Hospital ist folgerichtig auch gar nicht fuer Folgen formuliert. Wer sie trotzdem dafuer benutzen will, sollte das begruenden koennen. War als Hinweis an den Fragesteller gedacht. (Deine Begruendung ist ziemlich unvollstaendig.)

28.12.2016, 01:23

Dopap

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RE: Wird die Regel von L'Hospital hier richtig angewendet?

Zitat:

Original von Schniti

$\begin{eqnarray*} b_{n} = 1-3^{n} \end{eqnarray*}$ wobei bn gegen minus unendlich konvergiert
$\begin{eqnarray*} c_{n}=5+2\cdot 3^{n} \end{eqnarray*}$ wobei cn gegen unendlich konvergiert

das allein ist schon ein hartes Stück Brot unglücklich

Wie MYthos hätte ich auch von derselben "Mächtigkeit" von Zähler und Nenner argumentiert, was ja ebenfalls zu einer Konstanten führt.

28.12.2016, 10:41

Leopold

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Ich habe wie 005 auch Bauchschmerzen, wenn Regeln für reelle Funktionen auf Folgen angewendet werden. Daß man das hier darf, liegt letztlich daran, daß die Folge zu einer stetigen Funktion über einem geeigneten Intervall fortgesetzt werden kann und die Limesbildung damit verträglich ist. Die Anwendung von L'Hospital hat hier auch ein bißchen den Charakter einer "Kanonen-auf-Spatzen"-Methode. Man bekommt zwar ein richtiges Ergebnis, braucht aber nicht zu verstehen, woran das in Wahrheit liegt. Für viel hilfreicher hielte ich es, mittels $\begin{align*} m = 3^n \end{align*}$ die Folge als Teilfolge der Folge $\begin{align*} \left( b_m \right) \end{align*}$ mit

$\begin{align*} b_m = \frac{1 - m}{5 + 2 \cdot m} \, , \ \ m \geq 1 \end{align*}$

zu erkennen und jetzt den Grenzwert unmittelbar zu erspüren. Natürlich mit anschließender Rechtfertigung - ohne L'Hospital. Darauf läuft ja auch mYthos' Alternativvorschlag hinaus.

Vielleicht fordern wir Schniti auf, einmal von der Folge $\begin{align*} \left( c_n \right) \end{align*}$ den Grenzwert für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ zu ermitteln:

$\begin{align*} c_n = \frac{(- \operatorname{e})^n - 3^n}{5 + 2 \cdot 3^n} \, , \ \ n \geq 1 \end{align*}$

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