Wert einer Reihe berechnen

27.12.2016, 15:54	MatheE123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe berechnen Hallo, ich soll den Wert folgender Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k^{2} +3k+1}{k^{2}(k+1)^{2} } \end{eqnarray}$ Ich wollte die Partialburchzerlegung anwenden, weil ich nicht wusste was ich sonst mit der Reihe machen könnte.... $\begin{eqnarray} \frac{A}{(k+0)^{2}} +\frac{B}{(k+1)^{2}} = \frac{Ak^{2}+2Ak+A+Bk^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}} = \frac{(A+B)k^{2}+2Ak+A}{k^{2}(k+1)^{2}} \end{eqnarray}$ Da der Zähler gleich $\begin{eqnarray} k^{2} +3k+1 \end{eqnarray}$ sein muss, ergibt sich ja folgendes Gleichungsystem: A + B = 1 2A = 3 A = 1 Dieses ist jedoch nicht lösbar? Habe ich davor irgendetwas falsch gemacht oder muss ich anders an die Lösung herangehen? Vielen Dank im Voraus !!!
27.12.2016, 16:14	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck mal in unseren Workshop, wie die PBZ richtig geht. [WS] Partialbruchzerlegung
28.12.2016, 13:45	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur PBZ: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...chzerlegung.htm Das half mir damals.
28.12.2016, 23:20	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas übersichtlicher wird es eventuell, wenn man $\begin{align} \frac{k^2+3k+1}{k^2(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2+k}{k^2(k+1)^2} = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k(k+1)^2} \end{align}$ sieht. Dann muss man nur noch von dem rechten Summanden eine PBZ bestimmen und der sieht doch schon etwas netter aus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »