Limes Inferior/Superior

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27.12.2016, 16:04	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes Inferior/Superior Meine Frage: Hallo alle zusammen ich soll den Limes Inferior und den Limes Superior der Folge $\begin{eqnarray} bn:= 1+ \frac{(-1)^{n}(2n+5) }{3n-4} \end{eqnarray}$ bestimmen und danach soll ich den mit dem Infimum und dem Supremum von bn vegleichen Meine Ideen: Meine Idee wäre es zuerst Teilfolgen zu betrachten von bn. Also ich betrachte erst die Teilfolge der Geraden Indizes : $\begin{eqnarray} b2n:= 1+ \frac{(-1)^{2n}(4n+5) }{6n-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b2n:= \frac{6n-4+4n+5 }{6n-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b2n:= \frac{10n+1 }{6n-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b2n:= \frac{n(10+1/n) }{n(6-4/n)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b2n:= \frac{\lim_{n \to \infty } 10+\lim_{n \to \infty } 1/n }{\lim_{n \to \infty } 6-\lim_{n \to \infty } 4/n)} \end{eqnarray}$ Also ist der Limes Supremum = 5/3 und der Supremum ist 8 Also Meine Fragen wären : - Ist der Limes Superior richtig ? - ist das Supremum richtig ? - Was ist der genaue unterschied zwischen Limes superior und das Supremum ? - Ist meine schreibweise richtig ? (warscheinlich nicht ) Wie schreibt man das Mathematisch Korrekt ? vielen Dank
28.12.2016, 23:37	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
In der letzten Zeile fehlt links ein $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \end{align}$ vor dem $\begin{align} b_{2n} \end{align}$ , ansonsten stimmt das, für einen mathematisch korrekten Aufschrieb musst du vor der letzten Zeile sagen, dass du die Grenzwertsätze anwendest und begründen, warum das in diesem Fall erlaubt ist. Bevor du darauf schließen kannst, dass dies der Limes superior ist, musst du alle Häufungspunkte bestimmen, ansonsten weißt du nicht, ob es nicht noch einen größeren gibt. Dass das Supremum 8 ist, muss noch gezeigt werden, stimmt aber auch. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke, hierfür werden alle Folgenglieder betrachtet. Der Limes superior ist sowas wie die asymptotische Version des Supremums, die ersten endlich vielen Folgenglieder interessieren hier nicht. Wenn $\begin{align} s_n \end{align}$ das Supremum der Folge $\begin{align} b_n \end{align}$ ist, bei der man die ersten $\begin{align} n \end{align}$ Folgenglieder abgeschnitten hat, so ist Der Limes superior gerade der Grenzwert der $\begin{align} s_n \end{align}$ . Das ist für die Anschauung ganz schön, einfacher rechnen lässt sich aber mit der Definition als größter Häufungspunkt einer Folge.
30.12.2016, 01:56	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich würde dann dazu einfach noch die Teilfolgen betrachten wo die indizes ungerade sind da würde 1/3 rauskommen also muss der lim sup 5/3 sein. Wie zeige ich denn das daa Supremum 8 ist ? Ohne einen Beweis ?
30.12.2016, 10:33	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Argument für den Limes superior ist nun korrekt. Je nach Kenntnisstand solltest du vielleicht noch ein Wort darüber verlieren, warum es keine weiteren Häufungspunkte geben kann. Deine zweite Frage verstehe ich nicht. Wie soll man etwas ohne Beweis zeigen? Etwas zu Zeigen ist ein Beweis.
30.12.2016, 12:30	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh ok und wie würdest du das begründen das es keine weiteren Häufungspunkte gibt ? Na wie soll ich denn zeigen das der Grenzwert 8 ist ?
30.12.2016, 13:16	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es einen weiteren Häufungspunkt gäbe, dann auch eine Teilfolge, die dagegen konvergiert. Zeige, dass das nicht geht, weil die beiden von dir gewählten Teilfolgen mit ihren Indize die natürlichen Zahlen überdecken. Für das Supremum kannst du den hinteren Summanden der Folge für $\begin{align} n>1 \end{align}$ mal ganz grob abschätzen und zeigen, dass er kleiner als $\begin{align} 7 \end{align}$ sein muss.
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30.12.2016, 14:21	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja es ist ja offensichtlich das in den Teilfolgen einmal die ungeraden Zahlen und einmal nur die geraden Zahlen betrachtet werden Natürlich nur diese die element N sind also überdecken diese auch. Und zum Supremum: $\begin{eqnarray} 1+ \frac{(-1)^{n}(2n+5) }{3n-4} \leq 1+(-1)^{n}\frac{(2n+5)}{3n-4} \leq 1+ (-1)^{1} -7 \leq 8 \end{eqnarray*}$ stimmt das so ?
30.12.2016, 14:27	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Am ende muss da stehen -1*-7 und diese Konstante wäre dann größer gleich für alle n>1
30.12.2016, 14:51	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie begründest du die Abschätzung gegen $\begin{align} 1+(-1)(-7) \end{align}$ ? Warum gilt das für alle natürlichen Zahlen?
30.12.2016, 15:52	Donald_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ganz einfach wenn man für n=1 einsetzt dann kommt der größtmögliche Wert raus der raus kommen kann. Die Folge wird mit zuwachsendem n immer kleiner und kleiner und kleiner. oder anders: Da der nenner bei n=1 negativ ist und der zähler auch wird aus dem Term eine Positive Zahl. Bei zuwachsendem n wird der Term immer kleiner und kleiner
30.12.2016, 16:15	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt eben eine Begründung dafür, warum die Folge mit wachsendem n kleiner wird. Das ist an der Darstellung der Folge so nicht direkt ersichtlich, weil der Zähler mit wachsendem $\begin{align} n \end{align}$ schließlich auch wächst. Deutlicher wird es zum Beispiel, wenn man es so aufschreibt: Für $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ gilt $\begin{align} \|b_n\| \leq 1+\frac{\|2n+5\|}{\|3n-4\|} = 1+\frac{2n+5}{3n-4} = 1+\frac{2+\frac 5n}{3-\frac 4n} = \leq 1+\frac{2+3}{3-2} = 6 \end{align}$ . Also muss $\begin{align} b_1=8 \end{align}$ das Supremum sein.

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