Permutation und Zykel

27.12.2016, 17:30

mauerflower

Permutation und Zykel

Meine Frage:
Ich muss diese Teilaufgaben alle schnellstmöglich lösen und komme leider nicht weiter. Für (a) , (b) habe ich schon Lösungen , bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist und (c) habe ich einen Ansatz.

Vielen Dank schonmal im voraus!

Aufgabe: siehe Bild

Meine Ideen:
(a) Sei n=4 . Zuerst habe ich alle Permutationen mit Urbild aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{3,4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das alles berechnet und kam auf :

$\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$
= ( $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$ (1) ) , $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$ (2)) , $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$ (3)) , $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} t_{2,3} \end{eqnarray*}$ (4))
= ( $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ (1), $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ (3) , $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ (2) , $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ (4) )
= ( 2,3,1,4 )

Da $\begin{eqnarray*} t^{-1} \end{eqnarray*}$ = t gilt für jedes t $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$ , hab ich gerechnet : ( 2,3,1,4 ) ° $\begin{eqnarray*} t_{1,2} \end{eqnarray*}$ = ( 3,2,1,4 )

Zuletzt : ( 2,3,1,4 ) ° $\begin{eqnarray*} t_{3,4} \end{eqnarray*}$ = (2,3,4,1)

(b) $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ( Ich bin mir immer nicht sicher ob das richtig ist, auch bei (a) )

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = (3,4,1,2)

$\begin{eqnarray*} \sigma^{3} \end{eqnarray*}$ = (4,1,2,3)

$\begin{eqnarray*} \sigma^{4} \end{eqnarray*}$ = (1,2,3,4)

$\begin{eqnarray*} \sigma^{5} \end{eqnarray*}$ = (3,4,1,2)

(c) Mein Ansatz hier wäre , dass ich weiß , das a ° a~ (also Inverse) = e (neutrale Element)
Und aus einer Def. weiß ich , dass das neutrale Element in der Gruppe ( $\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$ ,°) die Permutation (1 , 2 , ... , n) ist.
Dh. Ich müsste nachrechnen ob da das neutrale Element rauskommt . Nur weiß ich nicht ganz genau wie ich das machen soll weil keine genauen Zahlen angegeben sind , sondern alles verallgemeinert ist.

27.12.2016, 20:21

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RE: Permutation und Zykel
Bei (a) und (b) konnte ich keinen Fehler finden.
Bie (c) bist du schon auf dem richtigen Weg. Nenne den zweiten Zykel $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ und überlege, was $\begin{eqnarray*} \tau\circ\sigma(i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\notin \{i_1,\ldots i_r\} \end{eqnarray*}$ ist und dann den anderen Fall.

27.12.2016, 20:50

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Wie genau meinst du das ...?

27.12.2016, 20:53

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Also wie soll ich das berechnen ?

27.12.2016, 21:01

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RE: Permutation und Zykel
Was ist $\begin{eqnarray*} \sigma(i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\notin \{i_1,\ldots i_r\} \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2016, 21:11

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Naja, das weiß ich nicht wirklich ...
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hat ja nur Elemente von { $\begin{eqnarray*} i_{1} ... i_{r} \end{eqnarray*}$ } und wenn i nicht Element aus dieser Menge sein soll ... ?

27.12.2016, 21:16

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RE: Permutation und Zykel
schau dir die Definition an

27.12.2016, 21:31

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Achso , $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (i) = i .

27.12.2016, 21:44

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RE: Permutation und Zykel
also $\begin{eqnarray*} \tau\circ\sigma(i)=? \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 22:17

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Sorry, stehe gerade bisschen auf dem Schlauch..

$\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (i) = ( $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ (i) )

So?

27.12.2016, 22:21

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RE: Permutation und Zykel
Du hast dir gerade überlegt, was $\begin{eqnarray*} \sigma(i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\notin \{i_1,\ldots i_r\} \end{eqnarray*}$ ist.
Das sollte dir genug liefern, um $\begin{eqnarray*} \tau(i) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen

27.12.2016, 22:49

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
Sorry ... Weiß leider nicht genau was du meinst ... Soll ich wieder in der Def. nachgucken?
Oder soll $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ das neutrale Element sein?

27.12.2016, 22:50

mauerflower

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RE: Permutation und Zykel
$\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ (i) meinte ich

27.12.2016, 22:59

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RE: Permutation und Zykel
Vorhin hat der Blick in die Definition doch auch geholfen. Warum also hast du das nicht erst versucht, statt zu fragen unglücklich

Und was $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ sein soll habe ich dir doch gesagt

Zitat:

Nenne den zweiten Zykel $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$

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