Wieviele symmetrische Matrizen gibt es?

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Wieviele symmetrische Matrizen gibt es?
Meine Frage:
Ich möchte für z.B. eine 3x3-Matrix und eine 4x4-Matrix alle möglichen Kombinationen mit 0 und 1 bilden.
Für die 3x3-Matrix ergeben sich 512 Möglichkeiten und für die 4x4-Matrix schon 65.536, richtig?
Allerdings brauche ich davon dann auch nur jeweils die symmetrischen!
Es kann doch nicht richtig sein, dass immer genau die Hälfte symmetrisch ist, oder??
Weil ich nämlich eine Formel fand (1/2*n^k), die das so sagte. Kommt mir reichlich komisch vor.
Und weder online-Recherchen noch Bücher sagen mir dazu was aus.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Wieviele symmetrische Matrizen mit 0- und 1-Einträgen kann eine 4x4, oder 5x5 etc. -Matrix haben?

Meine Ideen:
ich habe mal alle 2x2-Matrizen mit allen möglichen Kombinationen aus 0 und 1 gemalt.
Es sind 16 Matrizen.
Und genau 8 davon sind symmetrisch.
Ist da doch was dran?
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RE: Wieviele symmetrische Matrizen gibt es?
Eine symmetrische Matrix ist schon bestimmt, wenn man die Diagonalelemente und alle Elemente oberhalb kennt.
Wie viele sind das bei einer nxn Matrix?
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