n-te wurzel aus n mit binomischen lehrsatz

27.12.2016, 21:51	Schniti	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te wurzel aus n mit binomischen lehrsatz Meine Frage: Ich soll beweisen, dass die n-te wurzel aus n gegen 1 konvergiert, indem ich die folge als $\begin{eqnarray} a_{n}=1+b_{n} \end{eqnarray}$ darstelle. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} 1\leq n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n} = 1 + b_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n}= 1 + (\sqrt[n]{n} -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{n}=\sqrt[n]{n} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n} = 1 + b_{n} \end{eqnarray}$ (Bernoullische Unleichung: $\begin{eqnarray} (1+x)^{n}\geq 1+ n\cdot x \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} n=(1+b_{n})^{n} \geq 1+ n \cdot b_{n} \geq n\cdot b_{n} = <br /> n\cdot (\sqrt[n]{n} -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\geq n\cdot (\sqrt[n]{n} -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \geq \sqrt[n]{n} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \geq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\leq \sqrt[n]{n} \leq 2 \end{eqnarray}$ das sagt mir jetzt nichts über den grenzwert aus. Außerdem habe ich die Bernoullische Unleichung benutzt. Wie kann ich stattdessen, wie in der Aufgabe verlangt, den binomischen Lehrsatz anwenden?
28.12.2016, 12:53	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-te wurzel aus n mit binomischen lehrsatz Setze $\begin{eqnarray} b_n:=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray}$ und betrachte $\begin{eqnarray} n=(1+b_n)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_n^k. \end{eqnarray}$ Die Summe kannst Du nun recht grob abschätzen und dann folgern, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray}$

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