Schnittpunkte zweier Kreise

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Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte zweier Kreise
Darf man wenn man zwei Kreisgleichungen hat z.b.

(x-5)^2+(y-6)^2=65 und 2. (x-3)^2+(y-6)^2=35

gleichsetzen in dem man sagt

(x-5)^2+(y-6)^2=(x-3)^2+(y-6)^+30 ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Bebserbebe

Ich würde da nicht so ohne weiteres Ja sagen. Die Frage ist, was du durch das Gleichsetzen erreichen willst. Bist du dir im klaren darüber, welche geometrische Bedeutung die Gleichung besitzt, die du durch das Gleichsetzen erhältst? Und warum das so ist? Und kannst du die logische Abhängigkeit der Gleichung von den beiden Kreisgleichungen erklären?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Titel verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mir geht es nur darum, daß Schüler nicht "Schnittpunktberechnung" (geometrisch) mit "Gleichsetzen" (algebraisch) in eins setzen. Immer wieder erlebt man in der Analytischen Geometrie, daß, wenn etwa zwei Ebenen gegeben sind:



die Schüler die Schnittmenge durch Gleichsetzen ermitteln wollen und dann mit der Gleichung



nichts anzufangen wissen. Hier wird eine Methode, die man aus der Mittelstufe kennt, wo der Schnittpunkt der Graphen zweier Funktionen und durch Gleichsetzen der Funktionsterme ermittelt wird, auf eine andere Situation übertragen, wo sie nicht wirkt. Es ist eben ganz vergessen worden, WARUM man hier die Funktionsterme gleichsetzt. Schnittpunktberechnung und Gleichsetzen sind eins geworden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant wird es, wenn die beiden Kreise keine (reellen) Schnittpunkte haben.
Dennoch wird mittels des Gleichsetzens eine reelle Gleichung erzeugt.

In der Analytik erzeugt das Gleichsetzen der auf Null gebrachten Gleichungen von geometrischen Elementen ("geometrischen Orten") ein weiteres Element, welches mit den restlichen Elementen Punkte gemeinsam haben kann, die aber nicht ausschließlich Schnittpunkte sind.

Für die bei Leopold erzeugte dritte Ebene treffen die gemeinsamen Eigenschaften der beiden anderen Ebenen zu. Das hat zur Folge, dass sie entweder durch die Schnittgerade der beiden Ebene geht oder bei parallelen/identischen Ebenen ebenfalls zu diesen parallel/identisch ist.

Die weitere Aufgabe besteht jedenfalls nun darin, die gemeinsamen Punkte zu ermitteln.

mY+
 
 
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Zitat:
Original von Bebserbebe
Darf man wenn man zwei Kreisgleichungen hat z.b.
(x-5)^2+(y-6)^2=65 und 2. (x-3)^2+(y-6)^2=35
Eigentlich sind die beiden Kreisgleichungen nach dem Schema (x-xo)²+(y-yo)²=r² aufgebaut.
Die Radien sind also 5,9 und 8,06 und der Abstand der Mittelpunkte ist 2.
Da aber 8,06-5,9=2,14 ist, können sich die Kreise nicht schneiden.

Man darf die beiden natürlich gleichsetzen, kann aber sicher nicht damit Schnittpunkte der Kreise bestimmen.

Bitte um Widerspruch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Zitat:
Original von isi1
Bitte um Widerspruch.


Kein Widerspruch.
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Warum denn nicht
(x-5)^2+(y-6)^2=(x-3)^2+(y-6)^2+30
Quadrate lass ich aus da diese sich wegkürzen

-10x-6y+.... (Ok hab fast alles weggelassen^^)
nun x auf eine seite zusammenfassen und x= in eine der 2 kreiskleichungen einsetzen ?Anschließend quadratische gleichung anwenden ? also zum berechnen der Schnittpunkte
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Ist der Abstand der Mittelpunkte kleiner als der Betrag der Differenz der Radien (und genau das hat isi1 nachgewiesen), so liegt der kleinere Kreis im größeren. Die Kreise schneiden sich also gar nicht.

Zitat:
Original von Bebserbebe
-10x-6y+.... (Ok hab fast alles weggelassen^^)


Genau darauf kommt es jetzt an: richtig rechnen. Mit irgendwelchen viertelfertigen Ausdrücken kommst du da nicht weit. Bei richtiger Rechnung wird sich automatisch ergeben, was von vorneherein feststand: keine Schnittpunkte.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Zitat:
Original von Bebserbebe
...
Anschließend quadratische gleichung anwenden ? also zum berechnen der Schnittpunkte

Das kannst ja alles machen, du bekommst damit auch eine reelle Gerade. Nur eines macht diese nicht: Schnittpunkte mit den Kreisen erzeugen.
Es gibt keinen (reellen) Schnittpunkt mit den Kreisen, denn die quadratische Gleichung hat nur komplexe Lösungen.
Übrigens ist diese Gerade die Potenzlinie bezüglich der beiden Kreise, die gibt's nämlich immer ...

[attach]43433[/attach]

Die rote Gerade* ist jene, die durch das Gleichsetzen der beiden Kreisgleichungen entsteht.
Man sieht auch, dass diese Gerade die beiden Kreise im Reellen nicht schneidet.
Auf ihr liegen alle Punkte, von denen aus die Tangentenstrecken (Abschnitte) der an beide Kreise gezogenen Tangenten gleich lang sind (t1 = t2).
Diese Punkte sind Mittelpunkte von Kreisen, die die beiden Kreise rechtwinkelig schneiden.
Den im Mittelpunkt A eingezeichneten Kreis mit dem Radius t1 = t2 nennt man --> Normalkreis.
(*)
Die Gerade heisst Potenzlinie (die Potenz ist das Quadrat der Tangentenstrecke). Sie ist der Ort aller Punkte, die bezüglich beider Kreise die gleiche Potenz haben.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

interessante Kreise und Geraden!

Wie setzt man denn 2 ( Gleichheits- ) Relationen gleich ?

Bei 2 simultanen Gleichungen kenne ich nur die Addition.
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte zweier Kreise
Hätte ich hier von anfang an ablesen können das mir dies eine solche Gerade erzeugt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hättest du weitergerechnet wäre dir aufgefallen, dass sich (y-6)^2 weghebt, also nur noch x=konst. übrigbleibt. Rechne nach!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
...
Wie setzt man denn 2 ( Gleichheits- ) Relationen gleich ?
Bei 2 simultanen Gleichungen kenne ich nur die Addition.


Entweder die beiden auf Null gebrachten Gleichungen gleichsetzen (das kann man ja mit den linken Seiten machen, wenn rechts jeweils Null steht) oder die Differenz der beiden Funktionen Null setzen.

f(x,y) = 0
g(x,y) = 0
---------------
f(x,y) = g(x,y)
bzw.
f(x,y) - g(x,y) = 0

Hier noch eine Grafik, die die Verhältnisse zeigt, wenn die Kreise einander schneiden.
Eingezeichnet sind 2 Normalkreise mit beliebig auf der Potenzlinie gewählten Mittelpunkten.
Die Potenzlinie steht - wie schon im vorherigen Bild - senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte.
Dieses Geogebra-Arbeitsblatt habe ich vor einiger Zeit in Zusammenarbeit mit einer Schülerin (11. Kl. AHS) erstellt.

[attach]43438[/attach]

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagen mir die Schnittpunkte der "Strichlierten" Kreise mit den Kreisen denn aus bzw. wofür braucht man diese Kreise überhaupt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

unter Addition fällt auch Subtraktion. Gleichsetzen ist immer die Anwendung der Transitivität der Gleichheitsrelation. Steht aber hier nicht im Focus.

2 - stellige Funktionen sind das eigentlich nicht. Jedenfalls ist das nicht die Intention.
mittels "=" entstehen aber implizite Teilfunktionen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die strichlierten Kreise sind Normalkreise, also Kreise, die die gegebenen unter einem rechten Winkel schneiden. Ihr Radius ist gleich der Länge der Tangentenstrecken.
Dabei gibt es unendlich viele, es sind alle jene, deren Mittelpunkte (ausserhalb der gegebenen Kreise) auf der Schnittgeraden liegen.

Was geschieht, aber, wenn drei Kreise gegeben sind? Dann gibt es drei Potenzlinien. Man sieht schnell, dass sich diese in einem Punkt schneiden, dem sogenannten Potenzzentrum.
Wenn dieses ausserhalb der Kreise liegt, gibt es nur einen Normalkreis, er schneidet alle drei Kreise rechtwinkelig.

[attach]43442[/attach]

mY+
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