Grenzwert von einer rekursiv definierten Folge

28.12.2016, 15:22

Mathe<3

Grenzwert von einer rekursiv definierten Folge

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe ein Konflikt und zwar habe ich folgende Aufgabe ich soll den Grenzwert für die Rekrusiv Definierte Folge berechnen $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{3}*(an^{2} +2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq a_{0} \leq 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also dazu würde ich zeigen das die Rekrusiv Definierte Folge Monoton und beschränkt ist somit hätte ich schonmal gezeigt das diese Konvergiert :

1. Monotonie

zz. an ist Monoton Steigend $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ind-Anfang Sei n=0 dann ist $\begin{eqnarray*} a_{1} = \frac{1}{3} * (a_{0}^{2} +2) \end{eqnarray*}$

Also wenn $\begin{eqnarray*} a_{0 }=1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} a_{1 }=1 \end{eqnarray*}$

und wenn $\begin{eqnarray*} a_{0 }=2 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} a_{1 }=2 \end{eqnarray*}$

also muss $\begin{eqnarray*} a_{1 } \end{eqnarray*}$ wieder element [1;2] sein.

Ind- Schritt zz an+1<= an+2

$\begin{eqnarray*} a_{n+1 }= \frac{1}{3}*(a_{n}^{2}+2) \leq \frac{1}{3} (a_{n+1}^{2}+2)=a_{n+2} \end{eqnarray*}$

dies gilt wiederum wegen der Ind- Annahme bzw Vorraussetzung wegen an<= an+1.

2. Beschränkt zz $\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n}\leq 2 \end{eqnarray*}$

Ind-Anfang n= 0

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_{1} \leq 2 \end{eqnarray*}$ also stimmts

und Ind Schritt: $\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n+1}\leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq \frac{1}{3}(1+2) \leq \frac{1}{3} *(a_{n} ^{2}+2) \leq \frac{1}{3}*(4+2)=2 \end{eqnarray*}$

somit wurde die beschränktheit auch gezeigt also muss die Folge Konvergieren.

Die Folge umgeformt und mit Grenzwertregeln gearbeitet komme ich auf eine quadratische Lösung mit der Lösung a1=2 a2=1 und mein Problenm ist es was ist nun mein Grenzwert ?

In der Lösung steht der Grenzwert 2 scheidet aus da die Folge >=0 ist das kann ich aber nicht verstehen..

28.12.2016, 17:18

Helferlein

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Bist Du dir sicher, dass es nicht doch $\begin{eqnarray*} 1\leq a_0<2 \end{eqnarray*}$ heisst?
Ansonsten hast Du mit $\begin{eqnarray*} a_0=2 \Rightarrow a_n=2~\forall n \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel für die Behauptung der Musterlösung gefunden.

28.12.2016, 17:44

Mathe<3

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Also ich weiß nicht ich kann dir ja die Aufgabe zeigen wie sie gelöst wurde (siehe Bild)

Sind denn meine Berechnungen bzw. Beweise alle richtig ?

28.12.2016, 18:35

Helferlein

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Irgendetwas stimmt da nicht. Die Folge ist nicht monoton wachsend und hat auch nicht zwingend den Grenzwert 1.

Nimm z.B. $\begin{eqnarray*} a_0=\frac 32 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a_1=\frac 13 \cdot \frac {17}4 = \frac {17}{12}<\frac{18}{12}=\frac 32=a_0 \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile des "Beweises" wird $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht mit 3 multipliziert, was zu einem falschen Ergebnis führt. Woher stammt denn diese "Lösung" ?

28.12.2016, 19:36

Mathe<3

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ja ich habe das auch gesehen. Also was heißt das jetzt ? ist die Aufgabe nun falsch ?

28.12.2016, 20:22

Leopold

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Für $\begin{align*} a_0 \in I = (1,2) \end{align*}$ gilt auch $\begin{align*} a_n \in I \end{align*}$ . Das zeigt man leicht durch Induktion. Ferner ist die Folge streng monoton fallend. Das folgt sofort aus der Rekursionsbeziehung und dem bisher Gezeigten.

Zitat:

Original von Mathe<3
ja ich habe das auch gesehen. Also was heißt das jetzt ? ist die Aufgabe nun falsch ?

Ja.

28.12.2016, 20:53

Mathe<3

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Also ist meine Lösung falsch oder die "Musterlösung" ?
und warum betrachtest du jetzt a0 im Intervall (1;2) ?

29.12.2016, 00:03

Leopold

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Zitat:

Original von Mathe<3
und warum betrachtest du jetzt a0 im Intervall (1;2) ?

Für $\begin{align*} a_0=1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} a_0=2 \end{align*}$ ergeben sich konstante Folgen mit Wert 1 bzw. 2. Interessant ist daher nur der Fall $\begin{align*} a_0 \in \left( 1,2 \right) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Mathe<3
Also ist meine Lösung falsch oder die "Musterlösung" ?

Beide. Die Folge fällt streng monoton. Dein Beweis für das strenge Wachsen muß daher falsch sein.

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